枚举
本页面将简要介绍枚举算法。
简介¶
枚举(英语:Enumerate)是基于已有知识来猜测答案的一种问题求解策略。
枚举的思想是不断地猜测,从可能的集合中一一尝试,然后再判断题目的条件是否成立。
要点¶
给出解空间¶
建立简洁的数学模型。
枚举的时候要想清楚:可能的情况是什么?要枚举哪些要素?
减少枚举的空间¶
枚举的范围是什么?是所有的内容都需要枚举吗?
在用枚举法解决问题的时候,一定要想清楚这两件事,否则会带来不必要的时间开销。
选择合适的枚举顺序¶
根据题目判断。比如例题中要求的是最大的符合条件的素数,那自然是从大到小枚举比较合适。
例题¶
以下是一个使用枚举解题与优化枚举范围的例子。
例题
一个数组中的数互不相同,求其中和为 \(0\) 的数对的个数。
解题思路
枚举两个数的代码很容易就可以写出来。
for (int i = 0; i < n; ++i)
for (int j = 0; j < n; ++j)
if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;
for i in range(n):
for j in range(n):
if a[i] + a[j] == 0:
ans += 1
来看看枚举的范围如何优化。由于题中没要求数对是有序的,答案就是有序的情况的两倍(考虑如果 (a, b)
是答案,那么 (b, a)
也是答案)。对于这种情况,只需统计人为要求有顺序之后的答案,最后再乘上 \(2\) 就好了。
不妨要求第一个数要出现在靠前的位置。代码如下:
for (int i = 0; i < n; ++i)
for (int j = 0; j < i; ++j)
if (a[i] + a[j] == 0) ++ans;
for i in range(n):
for j in range(i):
if a[i] + a[j] == 0:
ans += 1
不难发现这里已经减少了 \(j\) 的枚举范围,减少了这段代码的时间开销。
我们可以在此之上进一步优化。
两个数是否都一定要枚举出来呢?枚举其中一个数之后,题目的条件已经确定了其他的要素(另一个数)的条件,如果能找到一种方法直接判断题目要求的那个数是否存在,就可以省掉枚举后一个数的时间了。较为进阶地,在数据范围允许的情况下,我们可以使用桶1记录遍历过的数。
bool met[MAXN * 2];
memset(met, 0, sizeof(met));
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (met[MAXN - a[i]]) ++ans;
met[MAXN + a[i]] = true;
}
met = [False] * MAXN * 2
for i in range(n):
if met[MAXN - a[i]]:
ans += 1
met[a[i] + MAXN] = True
复杂度分析¶
- 时间复杂度分析:对 \(a\) 数组遍历了一遍就能完成题目要求,当 \(n\) 足够大的时候时间复杂度为 \(O(n)\)。
- 空间复杂度分析:\(O(n+\max\{|x|:x\in a\})\)。
习题¶
脚注¶
-
桶排序 以及 主元素问题 以及 Stack Overflow 上对桶数据结构的讲解(英文) ↩