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Splay 树

本页面将简要介绍如何用 Splay 维护二叉查找树。

定义

Splay 树, 或 伸展树，是一种平衡二叉查找树，它通过 Splay/伸展操作 不断将某个节点旋转到根节点，使得整棵树仍然满足二叉查找树的性质，能够在均摊 \(O(\log N)\) 时间内完成插入，查找和删除操作，并且保持平衡而不至于退化为链。

Splay 树由 Daniel Sleator 和 Robert Tarjan 于 1985 年发明。

结构

二叉查找树的性质

首先肯定是一棵二叉树！

能够在这棵树上查找某个值的性质：左子树任意节点的值 \(<\) 根节点的值 \(<\) 右子树任意节点的值。

节点维护信息

rt tot fa[i] ch[i][0/1] val[i] cnt[i] sz[i]
根节点编号 节点个数 父亲 左右儿子编号 节点权值 权值出现次数 子树大小

操作

基本操作

  • maintain(x)：在改变节点位置后，将节点 \(x\) 的 \(\text{size}\) 更新。
  • get(x)：判断节点 \(x\) 是父亲节点的左儿子还是右儿子。
  • clear(x)：销毁节点 \(x\)。
实现 
void maintain(int x) { sz[x] = sz[ch[x][0]] + sz[ch[x][1]] + cnt[x]; }

bool get(int x) { return x == ch[fa[x]][1]; }

void clear(int x) { ch[x][0] = ch[x][1] = fa[x] = val[x] = sz[x] = cnt[x] = 0; }

旋转操作

为了使 Splay 保持平衡而进行旋转操作，旋转的本质是将某个节点上移一个位置。

旋转需要保证：

  • 整棵 Splay 的中序遍历不变（不能破坏二叉查找树的性质）。
  • 受影响的节点维护的信息依然正确有效。
  • root 必须指向旋转后的根节点。

在 Splay 中旋转分为两种：左旋和右旋。

过程

具体分析旋转步骤（假设需要旋转的节点为 \(x\)，其父亲为 \(y\)，以右旋为例）

  1. 将 \(y\) 的左儿子指向 \(x\) 的右儿子，且 \(x\) 的右儿子（如果 \(x\) 有右儿子的话）的父亲指向 \(y\)；ch[y][0]=ch[x][1]; fa[ch[x][1]]=y;
  2. 将 \(x\) 的右儿子指向 \(y\)，且 \(y\) 的父亲指向 \(x\)；ch[x][chk^1]=y; fa[y]=x;
  3. 如果原来的 \(y\) 还有父亲 \(z\)，那么把 \(z\) 的某个儿子（原来 \(y\) 所在的儿子位置）指向 \(x\)，且 \(x\) 的父亲指向 \(z\)。fa[x]=z; if(z) ch[z][y==ch[z][1]]=x;

实现

void rotate(int x) {
  int y = fa[x], z = fa[y], chk = get(x);
  ch[y][chk] = ch[x][chk ^ 1];
  if (ch[x][chk ^ 1]) fa[ch[x][chk ^ 1]] = y;
  ch[x][chk ^ 1] = y;
  fa[y] = x;
  fa[x] = z;
  if (z) ch[z][y == ch[z][1]] = x;
  maintain(y);
  maintain(x);
}

Splay 操作

Splay 操作规定：每访问一个节点 \(x\) 后都要强制将其旋转到根节点。

Splay 操作即对 \(x\) 做一系列的 splay 步骤。每次对 \(x\) 做一次 splay 步骤，\(x\) 到根节点的距离都会更近。定义 \(p\) 为 \(x\) 的父节点。Splay 步骤有三种，具体分为六种情况：

  1. zig: 在 \(p\) 是根节点时操作。Splay 树会根据 \(x\) 和 \(p\) 间的边旋转。\(zig\) 存在是用于处理奇偶校验问题，仅当 \(x\) 在 splay 操作开始时具有奇数深度时作为 splay 操作的最后一步执行。

    splay-zig

    即直接将 \(x\) 左旋或右旋（图 1, 2）

    图 1

    图 2

  2. zig-zig: 在 \(p\) 不是根节点且 \(x\) 和 \(p\) 都是右侧子节点或都是左侧子节点时操作。下方例图显示了 \(x\) 和 \(p\) 都是左侧子节点时的情况。Splay 树首先按照连接 \(p\) 与其父节点 \(g\) 边旋转，然后按照连接 \(x\) 和 \(p\) 的边旋转。

    splay-zig-zig

    即首先将 \(g\) 左旋或右旋，然后将 \(x\) 右旋或左旋（图 3, 4）。

    图 3

    图 4

  3. zig-zag: 在 \(p\) 不是根节点且 \(x\) 和 \(p\) 一个是右侧子节点一个是左侧子节点时操作。Splay 树首先按 \(p\) 和 \(x\) 之间的边旋转，然后按 \(x\) 和 \(g\) 新生成的结果边旋转。

    splay-zig-zag

    即将 \(x\) 先左旋再右旋、或先右旋再左旋（图 5, 6）。

    图 5

    图 6

    Tip

    请读者尝试自行模拟 \(6\) 种旋转情况，以理解 Splay 的基本思想。

实现

void splay(int x) {
  for (int f = fa[x]; f = fa[x], f; rotate(x))
    if (fa[f]) rotate(get(x) == get(f) ? f : x);
  rt = x;
}

Splay 操作的时间复杂度

因为 zig 和 zag 是 对称 操作，我们只需要对 zig，zig−zig，zig−zag 操作分析复杂度。采用 势能分析，定义一个 \(n\) 个节点的 splay 树进行了 \(m\) 次 splay 步骤。可记 \(w(x)=[\log(\operatorname{size}(x))]\), 定义势能函数为 \(\varphi =\sum w(x)\),\(\varphi (0) \leq n \log n\)，在第 \(i\) 次操作后势能为 \(\varphi (i)\), 则我们只需要求出初始势能和每次的势能变化量的和即可。

  1. zig: 势能的变化量为

    \[ \begin{aligned} 1+w'(x)+w'(fa)−w(x)−w(fa) & \leq 1+w'(fa)−w(x) \\ & \leq 1+w'(x)−w(x) \end{aligned} \]

  2. zig-zig: 势能变化量为

    \[ \begin{aligned} 1+w'(x)+w'(fa)+w'(g)−w(x)−w(fa)−w(g) & \leq 1+w'(fa)+w'(g)−w(x)−w(fa) \\ & \leq 1+ w'(x)+w'(g)−2w(x) \\ & \leq 3(w'(x)−w(x)) \end{aligned} \]

  3. zig-zag: 势能变化量为

    \[ \begin{aligned} 1+w'(x)+w'(fa)+w'(g)−w(x)−w(fa)−w(g) & \leq 1+w'(fa)+w'(g)−w(x)−w(fa) \\ & \leq 1+w'(g)+w'(fa)−2w(x) \\ & \leq 2 w'(x)−w'(g)−w'(fa) + w'(fa)+w'(g)−w(x)−w(fa) \\ & \leq 2(w'(x)−w(x)) \end{aligned} \]

由此可见，三种 splay 步骤的势能全部可以缩放为 \(\leq 3(w'(x)−w(x))\). 令 \(w^{(n)}(x)=w'^{(n-1)}(x)\),\(w^{(0)}(x)=w(x)\), 假设 splay 操作一次依次访问了 \(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\), 最终 \(x_{1}\) 成为根节点，我们可以得到：

\[ \begin{aligned} 3\left(\sum_{i=0}^{n-2}\left(w^{(i+1)}(x_{1})-w^{(i)}(x_{1})\right)+w(n)−w^{(n-1)}(x_{1})\right)+1 & = 3(w(n)−w(x_{1}))+1 \\ & \leq \log n \end{aligned} \]

继而可得：

\[ \sum_{i=1}^m (\varphi (m-i+1)−\varphi (m−i)) +\varphi (0) = n \log n+m \log n \]

因此，对于 \(n\) 个节点的 splay 树，做一次 splay 操作的均摊复杂度为 \(O(\log n)\)。因此基于 splay 的插入，查询，删除等操作的时间复杂度也为均摊 \(O(\log n)\)。

插入操作

过程

插入操作是一个比较复杂的过程，具体步骤如下（假设插入的值为 \(k\)）：

  • 如果树空了，则直接插入根并退出。
  • 如果当前节点的权值等于 \(k\) 则增加当前节点的大小并更新节点和父亲的信息，将当前节点进行 Splay 操作。
  • 否则按照二叉查找树的性质向下找，找到空节点就插入即可（请不要忘记 Splay 操作）。

实现

void ins(int k) {
  if (!rt) {
    val[++tot] = k;
    cnt[tot]++;
    rt = tot;
    maintain(rt);
    return;
  }
  int cur = rt, f = 0;
  while (1) {
    if (val[cur] == k) {
      cnt[cur]++;
      maintain(cur);
      maintain(f);
      splay(cur);
      break;
    }
    f = cur;
    cur = ch[cur][val[cur] < k];
    if (!cur) {
      val[++tot] = k;
      cnt[tot]++;
      fa[tot] = f;
      ch[f][val[f] < k] = tot;
      maintain(tot);
      maintain(f);
      splay(tot);
      break;
    }
  }
}

查询 x 的排名

过程

根据二叉查找树的定义和性质，显然可以按照以下步骤查询 \(x\) 的排名：

  • 如果 \(x\) 比当前节点的权值小，向其左子树查找。
  • 如果 \(x\) 比当前节点的权值大，将答案加上左子树（\(size\)）和当前节点（\(cnt\)）的大小，向其右子树查找。
  • 如果 \(x\) 与当前节点的权值相同，将答案加 \(1\) 并返回。

注意最后需要进行 Splay 操作。

实现

int rk(int k) {
  int res = 0, cur = rt;
  while (1) {
    if (k < val[cur]) {
      cur = ch[cur][0];
    } else {
      res += sz[ch[cur][0]];
      if (k == val[cur]) {
        splay(cur);
        return res + 1;
      }
      res += cnt[cur];
      cur = ch[cur][1];
    }
  }
}

查询排名 x 的数

过程

设 \(k\) 为剩余排名，具体步骤如下：

  • 如果左子树非空且剩余排名 \(k\) 不大于左子树的大小 \(size\)，那么向左子树查找。
  • 否则将 \(k\) 减去左子树的和根的大小。如果此时 \(k\) 的值小于等于 \(0\)，则返回根节点的权值，否则继续向右子树查找。

实现

int kth(int k) {
  int cur = rt;
  while (1) {
    if (ch[cur][0] && k <= sz[ch[cur][0]]) {
      cur = ch[cur][0];
    } else {
      k -= cnt[cur] + sz[ch[cur][0]];
      if (k <= 0) {
        splay(cur);
        return val[cur];
      }
      cur = ch[cur][1];
    }
  }
}

查询前驱

过程

前驱定义为小于 \(x\) 的最大的数，那么查询前驱可以转化为：将 \(x\) 插入（此时 \(x\) 已经在根的位置了），前驱即为 \(x\) 的左子树中最右边的节点，最后将 \(x\) 删除即可。

实现

int pre() {
  int cur = ch[rt][0];
  if (!cur) return cur;
  while (ch[cur][1]) cur = ch[cur][1];
  splay(cur);
  return cur;
}

查询后继

过程

后继定义为大于 \(x\) 的最小的数，查询方法和前驱类似：\(x\) 的右子树中最左边的节点。

实现

int nxt() {
  int cur = ch[rt][1];
  if (!cur) return cur;
  while (ch[cur][0]) cur = ch[cur][0];
  splay(cur);
  return cur;
}

合并两棵树

过程

合并两棵 Splay 树，设两棵树的根节点分别为 \(x\) 和 \(y\)，那么我们要求 \(x\) 树中的最大值小于 \(y\) 树中的最小值。合并操作如下：

  • 如果 \(x\) 和 \(y\) 其中之一或两者都为空树，直接返回不为空的那一棵树的根节点或空树。
  • 否则将 \(x\) 树中的最大值 \(\operatorname{Splay}\) 到根，然后把它的右子树设置为 \(y\) 并更新节点的信息，然后返回这个节点。

删除操作

过程

删除操作也是一个比较复杂的操作，具体步骤如下：

首先将 \(x\) 旋转到根的位置。

  • 如果 \(cnt[x]>1\)（有不止一个 \(x\)），那么将 \(cnt[x]\) 减 \(1\) 并退出。
  • 否则，合并它的左右两棵子树即可。

实现

void del(int k) {
  rk(k);
  if (cnt[rt] > 1) {
    cnt[rt]--;
    maintain(rt);
    return;
  }
  if (!ch[rt][0] && !ch[rt][1]) {
    clear(rt);
    rt = 0;
    return;
  }
  if (!ch[rt][0]) {
    int cur = rt;
    rt = ch[rt][1];
    fa[rt] = 0;
    clear(cur);
    return;
  }
  if (!ch[rt][1]) {
    int cur = rt;
    rt = ch[rt][0];
    fa[rt] = 0;
    clear(cur);
    return;
  }
  int cur = rt, x = pre();
  fa[ch[cur][1]] = x;
  ch[x][1] = ch[cur][1];
  clear(cur);
  maintain(rt);
}

实现

#include <cstdio>
const int N = 100005;
int rt, tot, fa[N], ch[N][2], val[N], cnt[N], sz[N];

struct Splay {
  void maintain(int x) { sz[x] = sz[ch[x][0]] + sz[ch[x][1]] + cnt[x]; }

  bool get(int x) { return x == ch[fa[x]][1]; }

  void clear(int x) {
    ch[x][0] = ch[x][1] = fa[x] = val[x] = sz[x] = cnt[x] = 0;
  }

  void rotate(int x) {
    int y = fa[x], z = fa[y], chk = get(x);
    ch[y][chk] = ch[x][chk ^ 1];
    if (ch[x][chk ^ 1]) fa[ch[x][chk ^ 1]] = y;
    ch[x][chk ^ 1] = y;
    fa[y] = x;
    fa[x] = z;
    if (z) ch[z][y == ch[z][1]] = x;
    maintain(y);
    maintain(x);
  }

  void splay(int x) {
    for (int f = fa[x]; f = fa[x], f; rotate(x))
      if (fa[f]) rotate(get(x) == get(f) ? f : x);
    rt = x;
  }

  void ins(int k) {
    if (!rt) {
      val[++tot] = k;
      cnt[tot]++;
      rt = tot;
      maintain(rt);
      return;
    }
    int cur = rt, f = 0;
    while (1) {
      if (val[cur] == k) {
        cnt[cur]++;
        maintain(cur);
        maintain(f);
        splay(cur);
        break;
      }
      f = cur;
      cur = ch[cur][val[cur] < k];
      if (!cur) {
        val[++tot] = k;
        cnt[tot]++;
        fa[tot] = f;
        ch[f][val[f] < k] = tot;
        maintain(tot);
        maintain(f);
        splay(tot);
        break;
      }
    }
  }

  int rk(int k) {
    int res = 0, cur = rt;
    while (1) {
      if (k < val[cur]) {
        cur = ch[cur][0];
      } else {
        res += sz[ch[cur][0]];
        if (k == val[cur]) {
          splay(cur);
          return res + 1;
        }
        res += cnt[cur];
        cur = ch[cur][1];
      }
    }
  }

  int kth(int k) {
    int cur = rt;
    while (1) {
      if (ch[cur][0] && k <= sz[ch[cur][0]]) {
        cur = ch[cur][0];
      } else {
        k -= cnt[cur] + sz[ch[cur][0]];
        if (k <= 0) {
          splay(cur);
          return val[cur];
        }
        cur = ch[cur][1];
      }
    }
  }

  int pre() {
    int cur = ch[rt][0];
    if (!cur) return cur;
    while (ch[cur][1]) cur = ch[cur][1];
    splay(cur);
    return cur;
  }

  int nxt() {
    int cur = ch[rt][1];
    if (!cur) return cur;
    while (ch[cur][0]) cur = ch[cur][0];
    splay(cur);
    return cur;
  }

  void del(int k) {
    rk(k);
    if (cnt[rt] > 1) {
      cnt[rt]--;
      maintain(rt);
      return;
    }
    if (!ch[rt][0] && !ch[rt][1]) {
      clear(rt);
      rt = 0;
      return;
    }
    if (!ch[rt][0]) {
      int cur = rt;
      rt = ch[rt][1];
      fa[rt] = 0;
      clear(cur);
      return;
    }
    if (!ch[rt][1]) {
      int cur = rt;
      rt = ch[rt][0];
      fa[rt] = 0;
      clear(cur);
      return;
    }
    int cur = rt;
    int x = pre();
    fa[ch[cur][1]] = x;
    ch[x][1] = ch[cur][1];
    clear(cur);
    maintain(rt);
  }
} tree;

int main() {
  int n, opt, x;
  for (scanf("%d", &n); n; --n) {
    scanf("%d%d", &opt, &x);
    if (opt == 1)
      tree.ins(x);
    else if (opt == 2)
      tree.del(x);
    else if (opt == 3)
      printf("%d\n", tree.rk(x));
    else if (opt == 4)
      printf("%d\n", tree.kth(x));
    else if (opt == 5)
      tree.ins(x), printf("%d\n", val[tree.pre()]), tree.del(x);
    else
      tree.ins(x), printf("%d\n", val[tree.nxt()]), tree.del(x);
  }
  return 0;
}

例题

以下题目都是裸的 Splay 维护二叉查找树。

习题

参考资料与注释

本文部分内容引用于 algocode 算法博客，特别鸣谢！