极坐标系

极坐标与极坐标系¶

（本节为旧人教版高中数学选修 4-4 内容）

我们考虑实际情况，比如航海，我们说「点 \(B\) 在点 \(A\) 的北偏东 \(30^\circ\) 方向上，距离为 \(100\) 米」，而不是「以 \(A\) 为原点建立平面直角坐标系，\(B(50,50\sqrt 3)\)」。

这样，我们在平面上选一定点 \(O\)，称为极点，自极点引出一条射线 \(Ox\)，称为极轴，再选择一个单位长度（在数学问题中通常为 \(1\)），一个角度单位（通常为弧度）及其正方向（通常为逆时针方向），这样就建立了 极坐标系。

在极坐标系下，我们怎么描述位置呢？

设 \(A\) 为平面上一点，极点 \(O\) 与 \(A\) 之间的距离 \(|OA|\) 即为极径，记为 \(\rho\)；以极轴为始边，\(OA\) 为终边的角 \(\angle xOA\) 为极角，记为 \(\theta\)，那么有序数对 \((\rho,\theta)\) 即为 \(A\) 的 极坐标。

由终边相同的角的定义可知，\((\rho,\theta)\) 与 \((\rho,\theta+2k\pi)\ (k\in \mathbb{Z})\) 其实表示的是一样的点，特别地，极点的极坐标为 \((0,\theta)\ (\theta\in \mathbb{R})\)，于是平面内的点的极坐标表示有无数多种。

如果规定 \(\rho>0,0\le \theta<2\pi\)，那么除极点外，其他平面内的点可以用唯一有序数对 \((\rho,\theta)\) 表示，而极坐标 \((\rho,\theta)\) 表示的点是唯一确定的。

当然，有时候研究极坐标系下的图形有些不方便，我们想要转到直角坐标系下研究，那么我们有互化公式。

点 \(A(\rho,\theta)\) 的直角坐标 \((x,y)\) 可以如下表示：

\[ \begin{cases} x=\rho \cos \theta\\ y=\rho \sin \theta \end{cases} \]

进而可知：

\[ \rho ^2=x^2+y^2\\ \tan \theta=\frac{y}{x}\ \ \ \ (x\not =0) \]

于是，极角 \(\theta=\arctan \frac{y}{x}\)，这样就可以求出极角了。

在编程中，若要求反正切函数，尽量使用 atan2(y, x)，这个函数用途比 atan(x) 广泛。