欧拉图
本页面将简要介绍欧拉图的概念、实现和应用。
定义¶
- 欧拉回路：通过图中每条边恰好一次的回路
- 欧拉通路：通过图中每条边恰好一次的通路
- 欧拉图：具有欧拉回路的图
- 半欧拉图：具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图
性质¶
欧拉图中所有顶点的度数都是偶数。
若 \(G\) 是欧拉图，则它为若干个环的并，且每条边被包含在奇数个环内。
判别法¶
- 无向图是欧拉图当且仅当：
- 非零度顶点是连通的
- 顶点的度数都是偶数
- 无向图是半欧拉图当且仅当：
- 非零度顶点是连通的
- 恰有 2 个奇度顶点
- 有向图是欧拉图当且仅当：
- 非零度顶点是强连通的
- 每个顶点的入度和出度相等
- 有向图是半欧拉图当且仅当：
- 非零度顶点是弱连通的
- 至多一个顶点的出度与入度之差为 1
- 至多一个顶点的入度与出度之差为 1
- 其他顶点的入度和出度相等
求欧拉回路或欧拉路¶
Fleury 算法¶
也称避桥法，是一个偏暴力的算法。
算法流程为每次选择下一条边的时候优先选择不是桥的边。
一个广泛使用但是错误的实现方式是先 Tarjan 预处理桥边，然后再 DFS 避免走桥。但是由于走图过程中边会被删去，一些非桥边会变为桥边导致错误。最简单的实现方法是每次删除一条边之后暴力跑一遍 Tarjan 找桥，时间复杂度是 \(\Theta(m(n+m))=\Theta(m^2)\)。复杂的实现方法要用到动态图等，实用价值不高。
Hierholzer 算法¶
也称逐步插入回路法。
过程¶
算法流程为从一条回路开始，每次任取一条目前回路中的点，将其替换为一条简单回路，以此寻找到一条欧拉回路。如果从路开始的话，就可以寻找到一条欧拉路。
实现¶
Hierholzer 算法的暴力实现如下：
性质¶
这个算法的时间复杂度约为 \(O(nm+m^2)\)。实际上还有复杂度更低的实现方法，就是将找回路的 DFS 和 Hierholzer 算法的递归合并，边找回路边使用 Hierholzer 算法。
如果需要输出字典序最小的欧拉路或欧拉回路的话，因为需要将边排序，时间复杂度是 \(\Theta(n+m\log m)\)（计数排序或者基数排序可以优化至 \(\Theta(n+m)\)）。如果不需要排序，时间复杂度是 \(\Theta(n+m)\)。
应用¶
有向欧拉图可用于计算机译码。
设有 \(m\) 个字母，希望构造一个有 \(m^n\) 个扇形的圆盘，每个圆盘上放一个字母，使得圆盘上每连续 \(n\) 位对应长为 \(n\) 的符号串。转动一周（\(m^n\) 次）后得到由 \(m\) 个字母产生的长度为 \(n\) 的 \(m^n\) 个各不相同的符号串。
构造如下有向欧拉图：
设 \(S = \{a_1, a_2, \cdots, a_m\}\)，构造 \(D=\langle V, E\rangle\)，如下：
\(V = \{a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}} |a_i \in S, 1 \leq i \leq n - 1 \}\)
\(E = \{a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}|a_j \in S, 1 \leq j \leq n\}\)
规定 \(D\) 中顶点与边的关联关系如下：
顶点 \(a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}\) 引出 \(m\) 条边：\(a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}a_r, r=1, 2, \cdots, m\)。
边 \(a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}\) 引入顶点 \(a_{j_2}a_{j_3}\cdots a_{j_{n}}\)。
这样的 \(D\) 是连通的，且每个顶点入度等于出度（均等于 \(m\)），所以 \(D\) 是有向欧拉图。
任求 \(D\) 中一条欧拉回路 \(C\)，取 \(C\) 中各边的最后一个字母，按各边在 \(C\) 中的顺序排成圆形放在圆盘上即可。
例题¶
洛谷 P2731 骑马修栅栏
给定一张有 500 个顶点的无向图，求这张图的一条欧拉路或欧拉回路。如果有多组解，输出最小的那一组。
在本题中，欧拉路或欧拉回路不需要经过所有顶点。
边的数量 m 满足 \(1\leq m \leq 1024\)。
解题思路
用 Fleury 算法解决本题的时候只需要再贪心就好，不过由于复杂度不对，还是换 Hierholzer 算法吧。
保存答案可以使用 stack<int>，因为如果找的不是回路的话必须将那一部分放在最后。
注意，不能使用邻接矩阵存图，否则时间复杂度会退化为 \(\Theta(nm)\)。由于需要将边排序，建议使用前向星或者 vector 存图。示例代码使用 vector。
示例代码
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <vector>
using namespace std;
struct edge {
int to;
bool exists;
int revref;
bool operator<(const edge& b) const { return to < b.to; }
};
vector<edge> beg[505];
int cnt[505];
const int dn = 500;
stack<int> ans;
void Hierholzer(int x) { // 关键函数
for (int& i = cnt[x]; i < (int)beg[x].size();) {
if (beg[x][i].exists) {
edge e = beg[x][i];
beg[x][i].exists = 0;
beg[e.to][e.revref].exists = 0;
++i;
Hierholzer(e.to);
} else {
++i;
}
}
ans.push(x);
}
int deg[505];
int reftop[505];
int main() {
for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
beg[i].reserve(1050); // vector 用 reserve 避免动态分配空间，加快速度
}
int m;
scanf("%d", &m);
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
beg[a].push_back((edge){b, 1, 0});
beg[b].push_back((edge){a, 1, 0});
++deg[a];
++deg[b];
}
for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
if (!beg[i].empty()) {
sort(beg[i].begin(), beg[i].end()); // 为了要按字典序贪心，必须排序
}
}
for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
for (int j = 0; j < (int)beg[i].size(); ++j) {
beg[i][j].revref = reftop[beg[i][j].to]++;
}
}
int bv = 0;
for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
if (!deg[bv] && deg[i]) {
bv = i;
} else if (!(deg[bv] & 1) && (deg[i] & 1)) {
bv = i;
}
}
Hierholzer(bv);
while (!ans.empty()) {
printf("%d\n", ans.top());
ans.pop();
}
}