增广路

增广路定理 Berge's lemma¶

这是最大匹配的一个重要理论。

定义¶

• 交错路（alternating path）始于非匹配点且由匹配边与非匹配边交错而成。
• 增广路（augmenting path）是始于非匹配点且终于非匹配点的交错路。

增广路上非匹配边比匹配边数量多一，如果将匹配边改为未匹配边，反之亦然，则匹配大小会增加一且依然是交错路。

如图 匹配数从 2 增加为 3，我们称此过程为 增广。

根据 Berge's lemma 当找不到增广路的时候，得到最大匹配。

过程¶

由此定理可知我们求最大匹配的核心思路。

证明¶

事实上，对于每个点只要枚举一次就好，证明如下：

假设某一轮沿着增广路 \(a - b\) 增广后，新增了以未匹配点 \(x\) 为起点的增广路 \(P_x\)，则 \(P_x\) 必与 \(a - b\) 有公共边（否则 \(P_x\) 不可能是因此次增广而新增的）。 在 \(P_x\) 与 \(a - b\) 取得公共边时，由于 \(a - b\) 是交错路，意味着相交点在 \(a - b\) 内的两邻边是不同类型的（图中以红和蓝表示）；因而增广前 \(x\) 就能走到 \(a - b\) 中的某个未匹配点，说明此前已存在从 \(x\) 出发的增广路，即已枚举过的未匹配点不再可能作为增广路起点。