最小生成树

定义¶

在阅读下列内容之前，请务必阅读 图论相关概念 与 树基础 部分，并了解以下定义：

1. 生成子图
2. 生成树

我们定义无向连通图的 最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）为边权和最小的生成树。

注意：只有连通图才有生成树，而对于非连通图，只存在生成森林。

Kruskal 算法¶

Kruskal 算法是一种常见并且好写的最小生成树算法，由 Kruskal 发明。该算法的基本思想是从小到大加入边，是个贪心算法。

前置知识¶

并查集、贪心、图的存储。

实现¶

图示：

伪代码：

算法虽简单，但需要相应的数据结构来支持……具体来说，维护一个森林，查询两个结点是否在同一棵树中，连接两棵树。

抽象一点地说，维护一堆 集合，查询两个元素是否属于同一集合，合并两个集合。

其中，查询两点是否连通和连接两点可以使用并查集维护。

如果使用 \(O(m\log m)\) 的排序算法，并且使用 \(O(m\alpha(m, n))\) 或 \(O(m\log n)\) 的并查集，就可以得到时间复杂度为 \(O(m\log m)\) 的 Kruskal 算法。

证明¶

思路很简单，为了造出一棵最小生成树，我们从最小边权的边开始，按边权从小到大依次加入，如果某次加边产生了环，就扔掉这条边，直到加入了 \(n-1\) 条边，即形成了一棵树。

证明：使用归纳法，证明任何时候 K 算法选择的边集都被某棵 MST 所包含。

基础：对于算法刚开始时，显然成立（最小生成树存在）。

归纳：假设某时刻成立，当前边集为 \(F\)，令 \(T\) 为这棵 MST，考虑下一条加入的边 \(e\)。

如果 \(e\) 属于 \(T\)，那么成立。

否则，\(T+e\) 一定存在一个环，考虑这个环上不属于 \(F\) 的另一条边 \(f\)（一定只有一条）。

首先，\(f\) 的权值一定不会比 \(e\) 小，不然 \(f\) 会在 \(e\) 之前被选取。

然后，\(f\) 的权值一定不会比 \(e\) 大，不然 \(T+e-f\) 就是一棵比 \(T\) 还优的生成树了。

所以，\(T+e-f\) 包含了 \(F\)，并且也是一棵最小生成树，归纳成立。

Prim 算法¶

Prim 算法是另一种常见并且好写的最小生成树算法。该算法的基本思想是从一个结点开始，不断加点（而不是 Kruskal 算法的加边）。

实现¶

图示：

具体来说，每次要选择距离最小的一个结点，以及用新的边更新其他结点的距离。

其实跟 Dijkstra 算法一样，每次找到距离最小的一个点，可以暴力找也可以用堆维护。

堆优化的方式类似 Dijkstra 的堆优化，但如果使用二叉堆等不支持 \(O(1)\) decrease-key 的堆，复杂度就不优于 Kruskal，常数也比 Kruskal 大。所以，一般情况下都使用 Kruskal 算法，在稠密图尤其是完全图上，暴力 Prim 的复杂度比 Kruskal 优，但 不一定 实际跑得更快。

暴力：\(O(n^2+m)\)。

二叉堆：\(O((n+m) \log n)\)。

Fib 堆：\(O(n \log n + m)\)。

伪代码：

注意：上述代码只是求出了最小生成树的权值，如果要输出方案还需要记录每个点的 \(dis\) 代表的是哪条边。

证明¶

从任意一个结点开始，将结点分成两类：已加入的，未加入的。

每次从未加入的结点中，找一个与已加入的结点之间边权最小值最小的结点。

然后将这个结点加入，并连上那条边权最小的边。

重复 \(n-1\) 次即可。

证明：还是说明在每一步，都存在一棵最小生成树包含已选边集。

基础：只有一个结点的时候，显然成立。

归纳：如果某一步成立，当前边集为 \(F\)，属于 \(T\) 这棵 MST，接下来要加入边 \(e\)。

如果 \(e\) 属于 \(T\)，那么成立。

否则考虑 \(T+e\) 中环上另一条可以加入当前边集的边 \(f\)。

首先，\(f\) 的权值一定不小于 \(e\) 的权值，否则就会选择 \(f\) 而不是 \(e\) 了。

然后，\(f\) 的权值一定不大于 \(e\) 的权值，否则 \(T+e-f\) 就是一棵更小的生成树了。

因此，\(e\) 和 \(f\) 的权值相等，\(T+e-f\) 也是一棵最小生成树，且包含了 \(F\)。

Boruvka 算法¶

接下来介绍另一种求解最小生成树的算法——Boruvka 算法。该算法的思想是前两种算法的结合。它可以用于求解 边权互不相同 的无向图的最小生成森林。（无向连通图就是最小生成树。）

为了描述该算法，我们需要引入一些定义：

1. 定义 \(E'\) 为我们当前找到的最小生成森林的边。在算法执行过程中，我们逐步向 \(E'\) 加边，定义 连通块 表示一个点集 \(V'\subseteq V\)，且这个点集中的任意两个点 \(u\)，\(v\) 在 \(E'\) 中的边构成的子图上是连通的（互相可达）。
2. 定义一个连通块的 最小边 为它连向其它连通块的边中权值最小的那一条。

初始时，\(E'=\varnothing\)，每个点各自是一个连通块：

1. 计算每个点分别属于哪个连通块。将每个连通块都设为「没有最小边」。
2. 遍历每条边 \((u, v)\)，如果 \(u\) 和 \(v\) 不在同一个连通块，就用这条边的边权分别更新 \(u\) 和 \(v\) 所在连通块的最小边。
3. 如果所有连通块都没有最小边，退出程序，此时的 \(E'\) 就是原图最小生成森林的边集。否则，将每个有最小边的连通块的最小边加入 \(E'\)，返回第一步。

下面通过一张动态图来举一个例子（图源自 维基百科）：

当原图连通时，每次迭代连通块数量至少减半，算法只会迭代不超过 \(O(\log V)\) 次，而原图不连通时相当于多个子问题，因此算法复杂度是 \(O(E\log V)\) 的。给出算法的伪代码：（修改自 维基百科）

习题¶

• 「HAOI2006」聪明的猴子
• 「SCOI2005」繁忙的都市

最小生成树的唯一性¶

考虑最小生成树的唯一性。如果一条边 不在最小生成树的边集中，并且可以替换与其 权值相同、并且在最小生成树边集 的另一条边。那么，这个最小生成树就是不唯一的。

对于 Kruskal 算法，只要计算为当前权值的边可以放几条，实际放了几条，如果这两个值不一样，那么就说明这几条边与之前的边产生了一个环（这个环中至少有两条当前权值的边，否则根据并查集，这条边是不能放的），即最小生成树不唯一。

寻找权值与当前边相同的边，我们只需要记录头尾指针，用单调队列即可在 \(O(\alpha(m))\)（m 为边数）的时间复杂度里优秀解决这个问题（基本与原算法时间相同）。

#include <algorithm>
#include <cstdio>

struct Edge {
  int x, y, z;
};

int f[100001];
Edge a[100001];

int cmp(const Edge& a, const Edge& b) { return a.z < b.z; }

int find(int x) { return f[x] == x ? x : f[x] = find(f[x]); }

int main() {
  int t;
  scanf("%d", &t);
  while (t--) {
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) f[i] = i;
    for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d%d%d", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].z);
    std::sort(a + 1, a + m + 1, cmp);  // 先排序
    int num = 0, ans = 0, tail = 0, sum1 = 0, sum2 = 0;
    bool flag = 1;
    for (int i = 1; i <= m + 1; i++) {  // 再并查集加边
      if (i > tail) {
        if (sum1 != sum2) {
          flag = 0;
          break;
        }
        sum1 = 0;
        for (int j = i; j <= m + 1; j++) {
          if (a[j].z != a[i].z) {
            tail = j - 1;
            break;
          }
          if (find(a[j].x) != find(a[j].y)) ++sum1;
        }
        sum2 = 0;
      }
      if (i > m) break;
      int x = find(a[i].x);
      int y = find(a[i].y);
      if (x != y && num != n - 1) {
        sum2++;
        num++;
        f[x] = f[y];
        ans += a[i].z;
      }
    }
    if (flag)
      printf("%d\n", ans);
    else
      printf("Not Unique!\n");
  }
  return 0;
}

次小生成树¶

非严格次小生成树¶

定义¶

在无向图中，边权和最小的满足边权和 大于等于 最小生成树边权和的生成树

求解方法¶

• 求出无向图的最小生成树 \(T\)，设其权值和为 \(M\)
• 遍历每条未被选中的边 \(e = (u,v,w)\)，找到 \(T\) 中 \(u\) 到 \(v\) 路径上边权最大的一条边 \(e' = (s,t,w')\)，则在 \(T\) 中以 \(e\) 替换 \(e'\)，可得一棵权值和为 \(M' = M + w - w'\) 的生成树 \(T'\).
• 对所有替换得到的答案 \(M'\) 取最小值即可

如何求 \(u,v\) 路径上的边权最大值呢？

我们可以使用倍增来维护，预处理出每个节点的 \(2^i\) 级祖先及到达其 \(2^i\) 级祖先路径上最大的边权，这样在倍增求 LCA 的过程中可以直接求得。

严格次小生成树¶

定义¶

在无向图中，边权和最小的满足边权和 严格大于 最小生成树边权和的生成树

求解方法¶

考虑刚才的非严格次小生成树求解过程，为什么求得的解是非严格的？

因为最小生成树保证生成树中 \(u\) 到 \(v\) 路径上的边权最大值一定 不大于 其他从 \(u\) 到 \(v\) 路径的边权最大值。换言之，当我们用于替换的边的权值与原生成树中被替换边的权值相等时，得到的次小生成树是非严格的。

解决的办法很自然：我们维护到 \(2^i\) 级祖先路径上的最大边权的同时维护 严格次大边权，当用于替换的边的权值与原生成树中路径最大边权相等时，我们用严格次大值来替换即可。

这个过程可以用倍增求解，复杂度 \(O(m \log m)\)。

代码¶

#include <algorithm>
#include <iostream>

const int INF = 0x3fffffff;
const long long INF64 = 0x3fffffffffffffffLL;

struct Edge {
  int u, v, val;

  bool operator<(const Edge &other) const { return val < other.val; }
};

Edge e[300010];
bool used[300010];

int n, m;
long long sum;

class Tr {
 private:
  struct Edge {
    int to, nxt, val;
  } e[600010];

  int cnt, head[100010];

  int pnt[100010][22];
  int dpth[100010];
  // 到祖先的路径上边权最大的边
  int maxx[100010][22];
  // 到祖先的路径上边权次大的边，若不存在则为 -INF
  int minn[100010][22];

 public:
  void addedge(int u, int v, int val) {
    e[++cnt] = (Edge){v, head[u], val};
    head[u] = cnt;
  }

  void insedge(int u, int v, int val) {
    addedge(u, v, val);
    addedge(v, u, val);
  }

  void dfs(int now, int fa) {
    dpth[now] = dpth[fa] + 1;
    pnt[now][0] = fa;
    minn[now][0] = -INF;
    for (int i = 1; (1 << i) <= dpth[now]; i++) {
      pnt[now][i] = pnt[pnt[now][i - 1]][i - 1];
      int kk[4] = {maxx[now][i - 1], maxx[pnt[now][i - 1]][i - 1],
                   minn[now][i - 1], minn[pnt[now][i - 1]][i - 1]};
      // 从四个值中取得最大值
      std::sort(kk, kk + 4);
      maxx[now][i] = kk[3];
      // 取得严格次大值
      int ptr = 2;
      while (ptr >= 0 && kk[ptr] == kk[3]) ptr--;
      minn[now][i] = (ptr == -1 ? -INF : kk[ptr]);
    }

    for (int i = head[now]; i; i = e[i].nxt) {
      if (e[i].to != fa) {
        maxx[e[i].to][0] = e[i].val;
        dfs(e[i].to, now);
      }
    }
  }

  int lca(int a, int b) {
    if (dpth[a] < dpth[b]) std::swap(a, b);

    for (int i = 21; i >= 0; i--)
      if (dpth[pnt[a][i]] >= dpth[b]) a = pnt[a][i];

    if (a == b) return a;

    for (int i = 21; i >= 0; i--) {
      if (pnt[a][i] != pnt[b][i]) {
        a = pnt[a][i];
        b = pnt[b][i];
      }
    }
    return pnt[a][0];
  }

  int query(int a, int b, int val) {
    int res = -INF;
    for (int i = 21; i >= 0; i--) {
      if (dpth[pnt[a][i]] >= dpth[b]) {
        if (val != maxx[a][i])
          res = std::max(res, maxx[a][i]);
        else
          res = std::max(res, minn[a][i]);
        a = pnt[a][i];
      }
    }
    return res;
  }
} tr;

int fa[100010];

int find(int x) { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); }

void Kruskal() {
  int tot = 0;
  std::sort(e + 1, e + m + 1);
  for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;

  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int a = find(e[i].u);
    int b = find(e[i].v);
    if (a != b) {
      fa[a] = b;
      tot++;
      tr.insedge(e[i].u, e[i].v, e[i].val);
      sum += e[i].val;
      used[i] = 1;
    }
    if (tot == n - 1) break;
  }
}

int main() {
  std::ios::sync_with_stdio(0);
  std::cin.tie(0);
  std::cout.tie(0);

  std::cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int u, v, val;
    std::cin >> u >> v >> val;
    e[i] = (Edge){u, v, val};
  }

  Kruskal();
  long long ans = INF64;
  tr.dfs(1, 0);

  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    if (!used[i]) {
      int _lca = tr.lca(e[i].u, e[i].v);
      // 找到路径上不等于 e[i].val 的最大边权
      long long tmpa = tr.query(e[i].u, _lca, e[i].val);
      long long tmpb = tr.query(e[i].v, _lca, e[i].val);
      // 这样的边可能不存在，只在这样的边存在时更新答案
      if (std::max(tmpa, tmpb) > -INF)
        ans = std::min(ans, sum - std::max(tmpa, tmpb) + e[i].val);
    }
  }
  // 次小生成树不存在时输出 -1
  std::cout << (ans == INF64 ? -1 : ans) << '\n';
  return 0;
}

瓶颈生成树¶

定义¶

无向图 \(G\) 的瓶颈生成树是这样的一个生成树，它的最大的边权值在 \(G\) 的所有生成树中最小。

性质¶

最小生成树是瓶颈生成树的充分不必要条件。 即最小生成树一定是瓶颈生成树，而瓶颈生成树不一定是最小生成树。

关于最小生成树一定是瓶颈生成树这一命题，可以运用反证法证明：我们设最小生成树中的最大边权为 \(w\)，如果最小生成树不是瓶颈生成树的话，则瓶颈生成树的所有边权都小于 \(w\)，我们只需删去原最小生成树中的最长边，用瓶颈生成树中的一条边来连接删去边后形成的两棵树，得到的新生成树一定比原最小生成树的权值和还要小，这样就产生了矛盾。

例题¶

最小瓶颈路¶

定义¶

无向图 \(G\) 中 x 到 y 的最小瓶颈路是这样的一类简单路径，满足这条路径上的最大的边权在所有 x 到 y 的简单路径中是最小的。

性质¶

根据最小生成树定义，x 到 y 的最小瓶颈路上的最大边权等于最小生成树上 x 到 y 路径上的最大边权。虽然最小生成树不唯一，但是每种最小生成树 x 到 y 路径的最大边权相同且为最小值。也就是说，每种最小生成树上的 x 到 y 的路径均为最小瓶颈路。

但是，并不是所有最小瓶颈路都存在一棵最小生成树满足其为树上 x 到 y 的简单路径。

例如下图：

1 到 4 的最小瓶颈路显然有以下两条：1-2-3-4。1-3-4。

但是，1-2 不会出现在任意一种最小生成树上。

应用¶

由于最小瓶颈路不唯一，一般情况下会询问最小瓶颈路上的最大边权。

也就是说，我们需要求最小生成树链上的 max。

倍增、树剖都可以解决，这里不再展开。

Kruskal 重构树¶

定义¶

在跑 Kruskal 的过程中我们会从小到大加入若干条边。现在我们仍然按照这个顺序。

首先新建 \(n\) 个集合，每个集合恰有一个节点，点权为 \(0\)。

每一次加边会合并两个集合，我们可以新建一个点，点权为加入边的边权，同时将两个集合的根节点分别设为新建点的左儿子和右儿子。然后我们将两个集合和新建点合并成一个集合。将新建点设为根。

不难发现，在进行 \(n-1\) 轮之后我们得到了一棵恰有 \(n\) 个叶子的二叉树，同时每个非叶子节点恰好有两个儿子。这棵树就叫 Kruskal 重构树。

举个例子：

这张图的 Kruskal 重构树如下：

性质¶

不难发现，原图中两个点之间的所有简单路径上最大边权的最小值 = 最小生成树上两个点之间的简单路径上的最大值 = Kruskal 重构树上两点之间的 LCA 的权值。

也就是说，到点 \(x\) 的简单路径上最大边权的最小值 \(\leq val\) 的所有点 \(y\) 均在 Kruskal 重构树上的某一棵子树内，且恰好为该子树的所有叶子节点。

我们在 Kruskal 重构树上找到 \(x\) 到根的路径上权值 \(\leq val\) 的最浅的节点。显然这就是所有满足条件的节点所在的子树的根节点。

如果需要求原图中两个点之间的所有简单路径上最小边权的最大值，则在跑 Kruskal 的过程中按边权大到小的顺序加边。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAX_VAL_RANGE = 280010;

int n, m, log2Values[MAX_VAL_RANGE + 1];

namespace TR {
struct Edge {
  int to, nxt, val;
} e[400010];

int cnt, head[140010];

void addedge(int u, int v, int val = 0) {
  e[++cnt] = (Edge){v, head[u], val};
  head[u] = cnt;
}

int val[140010];

namespace LCA {
int sec[280010], cnt;
int pos[140010];
int dpth[140010];

void dfs(int now, int fa) {
  dpth[now] = dpth[fa] + 1;
  sec[++cnt] = now;
  pos[now] = cnt;

  for (int i = head[now]; i; i = e[i].nxt) {
    if (fa != e[i].to) {
      dfs(e[i].to, now);
      sec[++cnt] = now;
    }
  }
}

int dp[280010][20];

void init() {
  dfs(2 * n - 1, 0);
  for (int i = 1; i <= 4 * n; i++) {
    dp[i][0] = sec[i];
  }
  for (int j = 1; j <= 19; j++) {
    for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= 4 * n; i++) {
      dp[i][j] = dpth[dp[i][j - 1]] < dpth[dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1]]
                     ? dp[i][j - 1]
                     : dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
    }
  }
}

int lca(int x, int y) {
  int l = pos[x], r = pos[y];
  if (l > r) {
    swap(l, r);
  }
  int k = log2Values[r - l + 1];
  return dpth[dp[l][k]] < dpth[dp[r - (1 << k) + 1][k]]
             ? dp[l][k]
             : dp[r - (1 << k) + 1][k];
}
}  // namespace LCA
}  // namespace TR

using TR::addedge;

namespace GR {
struct Edge {
  int u, v, val;

  bool operator<(const Edge &other) const { return val < other.val; }
} e[100010];

int fa[140010];

int find(int x) { return fa[x] == 0 ? x : fa[x] = find(fa[x]); }

void kruskal() {  // 最小生成树
  int tot = 0, cnt = n;
  sort(e + 1, e + m + 1);
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int fau = find(e[i].u), fav = find(e[i].v);
    if (fau != fav) {
      cnt++;
      fa[fau] = fa[fav] = cnt;
      addedge(fau, cnt);
      addedge(cnt, fau);
      addedge(fav, cnt);
      addedge(cnt, fav);
      TR::val[cnt] = e[i].val;
      tot++;
    }
    if (tot == n - 1) {
      break;
    }
  }
}
}  // namespace GR

int ans;
int A, B, C, P;

int rnd() { return A = (A * B + C) % P; }

void initLog2() {
  for (int i = 2; i <= MAX_VAL_RANGE; i++) {
    log2Values[i] = log2Values[i >> 1] + 1;
  }
}

int main() {
  initLog2();  // 预处理
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int u, v, val;
    cin >> u >> v >> val;
    GR::e[i] = (GR::Edge){u, v, val};
  }
  GR::kruskal();
  TR::LCA::init();
  int Q;
  cin >> Q;
  cin >> A >> B >> C >> P;

  while (Q--) {
    int u = rnd() % n + 1, v = rnd() % n + 1;
    ans += TR::val[TR::LCA::lca(u, v)];
    ans %= 1000000007;
  }
  cout << ans;
  return 0;
}