线性代数简介

提示

本篇与「线性代数」分类下的其他篇目关联不大。但笔者认为,讲讲线性代数的本质,追溯概念的根源与联系,让读者对于线性代数有一个初步但是成体系的认识,确实有其必要性。

早在几千年前,就有古人应用线性方程组解决问题,而如今,线性代数仍然应用广泛。

线性代数源于人们的观察。人们发现,很多对象都拥有相似的性质,比如:

  • 力可以被分解、合成。

  • 对于任意的 \(k,x_0\)\(k \sin (x-x_0)\) 可以分解成 \(k_1\sin x + k_2\cos x\)

这些性质与所描述对象的 缩放分解叠加 等有关。线性代数把这些性质从具体对象中抽象出来,作为一个独立的学科来研究。在 OI 中,线性代数的知识可以直接用来解决问题,也可以用于优化算法、数据结构等。例如:

  • 用树剖维护线性基求链上最大异或和

  • 利用矩阵树定理把图的生成树计数问题转化为求矩阵的行列式

  • 用矩阵快速幂优化递推