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离散对数

引入

对数的本质是构建一个乘法运算到加法运算的映射。仿照复数中构建对数运算的办法，可以在模 \(n\) 意义下存在原根 \(g\) 的情况时，建立对数运算。

多值函数

如果对于自变量，有多于一个的函数值与其对应，这样的函数称为 多值函数。

多值函数的函数值为集合，值域为函数值集合的集合。多值函数常常首字母大写，并规定一个对应首字母小写的单值函数称为 主值。

在复数中构建的对数运算是多值函数：

\[ \operatorname{Ln}z=\{\ln z+2k\pi i|k\in Z\} \]

它的主值是：

\[ \ln z=\ln{|z|}+i\operatorname{arg}z \]

在模 \(p\) 意义下构建离散的对数运算，原理也是类似的。

离散对数

对于模 \(n\) 的原根 \(g\)，如果有：

\[ g^t\equiv a\pmod n \]

则称 \(a\) 在模 \(n\) 意义下，以 \(g\) 为底的对数为 \(t\)。

因为 \(g\) 是原根，所以 \(g\) 的幂可以取到模 \(n\) 意义下的所有元素，每 \(\varphi(n)\) 是一个周期，一个周期后可以回到 \(1\)。

如果使用对数的记号书写，则构成多值函数关系：

\[ \operatorname{Log}_g a=\{\log_g a+k\varphi(n)|k\in Z\} \]

它的主值是：

\[ \log_g a=t \]

规定主值 \(t\) 取 \(0\) 到 \(\varphi(n)-1\)。当 \(n\) 是素数时，就是 \(0\) 到 \(n−2\)。

与复对数一致，离散对数拥有性质：

\[ \operatorname{Log}_g(a_1a_2)=\operatorname{Log}_g a_1+\operatorname{Log}_g a_2 \]

与复对数一致，离散对数的主值不满足该性质。事实上，把离散对数的结果看作对 \(\varphi(n)\) 取模，则非常容易理解这样的关系：对数的本质是构建一个乘法运算到加法运算的映射，离散对数将运算的集合从模 \(n\) 缩减到了模 \(\varphi(n)\)，因为位于乘法位置的自变量只有 \(\varphi(n)\) 个。

因此，为了概念的介绍方便，不再试图去硬性区分多值函数和多值函数的主值这两个概念，而是将记号直接记为：

\[ \log_g a\equiv t\pmod{\varphi(n)} \]

这里后面的模数由 \(n\) 变为 \(\varphi(n)\)，原因已经从多值函数的角度进行过讨论。注意这里模 \(\varphi(n)\) 是一个记号，实际仍旧在讨论模 \(n\) 范畴的问题。

换底公式

如果模 \(n\) 存在不同的两个原根 \(g_1\) 和 \(g_2\)，则离散对数可以换底，换底公式与通常的对数一致。借助模 \(\varphi(n)\) 的记号，可以写为：

\[ \log_{g_1} {g_2}\equiv \frac{\log_{g_2} a}{\log_{g_1} a}\pmod{\varphi(n)} \]

使用原根为底的原因也得到了解释：为了使得模 \(\varphi(n)\) 的除法能够进行。如果不使用原根为底，则模 \(\varphi(n)\) 的除法无法进行。

大步小步算法

BSGS（baby-step giant-step），即大步小步算法。常用于求解离散对数问题。形式化地说，该算法可以在 \(O(\sqrt{p})\) 的时间内求解

\[ a^x \equiv b \pmod p \]

其中 \(a\perp p\)。方程的解 \(x\) 满足 \(0 \le x < p\)。（在这里需要注意，只要 \(a\perp p\) 就行了，不要求 \(p\) 是素数）

算法描述

令 \(x = A \left \lceil \sqrt p \right \rceil - B\)，其中 \(0\le A,B \le \left \lceil \sqrt p \right \rceil\)，则有 \(a^{A\left \lceil \sqrt p \right \rceil -B} \equiv b \pmod p\)，稍加变换，则有 \(a^{A\left \lceil \sqrt p \right \rceil} \equiv ba^B \pmod p\)。

我们已知的是 \(a,b\)，所以我们可以先算出等式右边的 \(ba^B\) 的所有取值，枚举 \(B\)，用 hash/map 存下来，然后逐一计算 \(a^{A\left \lceil \sqrt p \right \rceil}\)，枚举 \(A\)，寻找是否有与之相等的 \(ba^B\)，从而我们可以得到所有的 \(x\)，\(x=A \left \lceil \sqrt p \right \rceil - B\)。

注意到 \(A,B\) 均小于 \(\left \lceil \sqrt p \right \rceil\)，所以时间复杂度为 \(\Theta\left (\sqrt p\right )\)，用 map 则多一个 \(\log\)。

为什么要求 \(a\) 与 \(p\) 互质

注意到我们求出的是 \(A,B\)，我们需要保证从 \(a^{A\left \lceil \sqrt p \right \rceil} \equiv ba^B \pmod p\) 可以推回 \(a^{A\left \lceil \sqrt p \right \rceil -B} \equiv b \pmod p\)，后式是前式左右两边除以 \(a^B\) 得到，所以必须有 \(a^B \perp p\) 即 \(a\perp p\)。

进阶篇

求解

\[ x^a \equiv b \pmod p \]

其中 \(p\) 是个质数。

该模型可以通过一系列的转化为成 基础篇 中的模型，你可能需要了解关于 阶与原根 的知识。

由于式子中的模数 \(p\) 是一个质数，那么 \(p\) 一定存在一个原根 \(g\)。因此对于模 \(p\) 意义下的任意的数 \(x\ (0\le x<p)\) 有且仅有一个数 \(i\ (0\le i<p-1)\) 满足 \(x = g^i\)。

方法一

我们令 \(x=g^c\)，\(g\) 是 \(p\) 的原根（我们一定可以找到这个 \(g\) 和 \(c\)），问题转化为求解 \((g^c)^a \equiv b \pmod p\)。稍加变换，得到

\[ (g^a)^c \equiv b \pmod p \]

于是就转换成了我们熟知的 BSGS 的基本模型了，可以在 \(O(\sqrt p)\) 解出 \(c\)，这样可以得到原方程的一个特解 \(x_0\equiv g^c\pmod p\)。

方法二

我们仍令 \(x=g^c\)，并且设 \(b=g^t\)，于是我们得到

\[ g^{ac}\equiv g^t\pmod p \]

方程两边同时取离散对数得到

\[ ac\equiv t\pmod{\varphi(p)} \]

我们可以通过 BSGS 求解 \(g^t\equiv b\pmod p\) 得到 \(t\)，于是这就转化成了一个线性同余方程的问题。这样也可以解出 \(c\)，求出 \(x\) 的一个特解 \(x_0\equiv g^c\pmod p\)。

找到所有解

在知道 \(x_0\equiv g^{c}\pmod p\) 的情况下，我们想得到原问题的所有解。首先我们知道 \(g^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p\)，于是可以得到

\[ \forall\ t \in \mathbb{Z},\ x^a \equiv g^{ c \cdot a + t\cdot\varphi(p)}\equiv b \pmod p \]

于是得到所有解为

\[ \forall\ t\in \mathbb{Z},a\mid t\cdot\varphi(p),\ x\equiv g^{c+\frac{t\cdot\varphi(p)}{a}}\pmod p \]

对于上面这个式子，显然有 \(\frac{a}{\gcd(a,\varphi(p))} \mid t\)。因此我们设 \(t=\frac{a}{\gcd(a,\varphi(p))}\cdot i\)，得到

\[ \forall \ i\in \mathbb{Z},x\equiv g^{c+\frac{\varphi(p)}{\gcd(a,\varphi(p))}\cdot i}\pmod p \]

这就是原问题的所有解。

实现

下面的代码实现的找原根、离散对数解和原问题所有解的过程。

参考代码 
int gcd(int a, int b) { return a ? gcd(b % a, a) : b; }

int powmod(int a, int b, int p) {
  int res = 1;
  while (b > 0) {
    if (b & 1) res = res * a % p;
    a = a * a % p, b >>= 1;
  }
  return res;
}

// Finds the primitive root modulo p
int generator(int p) {
  vector<int> fact;
  int phi = p - 1, n = phi;
  for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
    if (n % i == 0) {
      fact.push_back(i);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  }
  if (n > 1) fact.push_back(n);
  for (int res = 2; res <= p; ++res) {
    bool ok = true;
    for (int factor : fact) {
      if (powmod(res, phi / factor, p) == 1) {
        ok = false;
        break;
      }
    }
    if (ok) return res;
  }
  return -1;
}

// This program finds all numbers x such that x^k=a (mod n)
int main() {
  int n, k, a;
  scanf("%d %d %d", &n, &k, &a);
  if (a == 0) return puts("1\n0"), 0;
  int g = generator(n);
  // Baby-step giant-step discrete logarithm algorithm
  int sq = (int)sqrt(n + .0) + 1;
  vector<pair<int, int>> dec(sq);
  for (int i = 1; i <= sq; ++i)
    dec[i - 1] = {powmod(g, i * sq * k % (n - 1), n), i};
  sort(dec.begin(), dec.end());
  int any_ans = -1;
  for (int i = 0; i < sq; ++i) {
    int my = powmod(g, i * k % (n - 1), n) * a % n;
    auto it = lower_bound(dec.begin(), dec.end(), make_pair(my, 0));
    if (it != dec.end() && it->first == my) {
      any_ans = it->second * sq - i;
      break;
    }
  }
  if (any_ans == -1) return puts("0"), 0;
  // Print all possible answers
  int delta = (n - 1) / gcd(k, n - 1);
  vector<int> ans;
  for (int cur = any_ans % delta; cur < n - 1; cur += delta)
    ans.push_back(powmod(g, cur, n));
  sort(ans.begin(), ans.end());
  printf("%d\n", ans.size());
  for (int answer : ans) printf("%d ", answer);
}

扩展篇

接下来我们求解

\[ a^x\equiv b\pmod p \]

其中 \(a,p\) 不一定互质。

当 \(a\perp p\) 时，在模 \(p\) 意义下 \(a\) 存在逆元，因此可以使用 BSGS 算法求解。于是我们想办法让他们变得互质。

具体地，设 \(d_1=\gcd(a,p)\)。如果 \(d_1\nmid b\)，则原方程无解。否则我们把方程同时除以 \(d_1\)，得到

\[ \frac{a}{d_1}\cdot a^{x-1}\equiv \frac{b}{d_1}\pmod{\frac{p}{d_1}} \]

如果 \(a\) 和 \(\frac{p}{d_1}\) 仍不互质就再除，设 \(d_2=\gcd\left(a,\frac{p}{d_1}\right)\)。如果 \(d_2\nmid \frac{b}{d_1}\)，则方程无解；否则同时除以 \(d_2\) 得到

\[ \frac{a^2}{d_1d_2}\cdot a^{x-2}≡\frac{b}{d_1d_2} \pmod{\frac{p}{d_1d_2}} \]

同理，这样不停的判断下去。直到 \(a\perp \frac{p}{d_1d_2\cdots d_k}\)。

记 \(D=\prod_{i=1}^kd_i\)，于是方程就变成了这样：

\[ \frac{a^k}{D}\cdot a^{x-k}\equiv\frac{b}{D} \pmod{\frac{p}{D}} \]

由于 \(a\perp\frac{p}{D}\)，于是推出 \(\frac{a^k}{D}\perp \frac{p}{D}\)。这样 \(\frac{a^k}{D}\) 就有逆元了，于是把它丢到方程右边，这就是一个普通的 BSGS 问题了，于是求解 \(x-k\) 后再加上 \(k\) 就是原方程的解啦。

注意，不排除解小于等于 \(k\) 的情况，所以在消因子之前做一下 \(\Theta(k)\) 枚举，直接验证 \(a^i\equiv b \pmod p\)，这样就能避免这种情况。

习题