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Min_25 筛

定义

从此种筛法的思想方法来说，其又被称为「Extended Eratosthenes Sieve」。

由于其由 Min_25 发明并最早开始使用，故称「Min_25 筛」。

性质

其可以在 \(O\left(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log{n}}\right)\) 或 \(\Theta\left(n^{1 - \epsilon}\right)\) 的时间复杂度下解决一类 积性函数 的前缀和问题。

要求：\(f(p)\) 是一个关于 \(p\) 的项数较少的多项式或可以快速求值；\(f(p^{c})\) 可以快速求值。

记号

  • 如无特别说明，本节中所有记为 \(p\) 的变量的取值集合均为全体质数。
  • \(x / y := \left\lfloor\frac{x}{y}\right\rfloor\)
  • \(\operatorname{isprime}(n) := [ |\{d : d \mid n\}| = 2 ]\)，即 \(n\) 为质数时其值为 \(1\)，否则为 \(0\)。
  • \(p_{k}\)：全体质数中第 \(k\) 小的质数（如：\(p_{1} = 2, p_{2} = 3\)）。特别地，令 \(p_{0} = 1\)。
  • \(\operatorname{lpf}(n) := [1 < n] \min\{p : p \mid n\} + [1 = n]\)，即 \(n\) 的最小质因数。特别地，\(n=1\) 时，其值为 \(1\)。
  • \(F_{\mathrm{prime}}(n) := \sum_{2 \le p \le n} f(p)\)
  • \(F_{k}(n) := \sum_{i = 2}^{n} [p_{k} \le \operatorname{lpf}(i)] f(i)\)

解释

观察 \(F_{k}(n)\) 的定义，可以发现答案即为 \(F_{1}(n) + f(1) = F_{1}(n) + 1\)。

考虑如何求出 \(F_{k}(n)\)。通过枚举每个 \(i\) 的最小质因子及其次数可以得到递推式：

\[ \begin{aligned} F_{k}(n) &= \sum_{i = 2}^{n} [p_{k} \le \operatorname{lpf}(i)] f(i) \\ &= \sum_{\substack{k \le i \\ p_{i}^{2} \le n}} \sum_{\substack{c \ge 1 \\ p_{i}^{c} \le n}} f\left(p_{i}^{c}\right) ([c > 1] + F_{i + 1}\left(n / p_{i}^{c}\right)) + \sum_{\substack{k \le i \\ p_{i} \le n}} f(p_{i}) \\ &= \sum_{\substack{k \le i \\ p_{i}^{2} \le n}} \sum_{\substack{c \ge 1 \\ p_{i}^{c} \le n}} f\left(p_{i}^{c}\right) ([c > 1] + F_{i + 1}\left(n / p_{i}^{c}\right)) + F_{\mathrm{prime}}(n) - F_{\mathrm{prime}}(p_{k - 1}) \\ &= \sum_{\substack{k \le i \\ p_{i}^{2} \le n}} \sum_{\substack{c \ge 1 \\ p_{i}^{c + 1} \le n}} \left(f\left(p_{i}^{c}\right) F_{i + 1}\left(n / p_{i}^{c}\right) + f\left(p_{i}^{c + 1}\right)\right) + F_{\mathrm{prime}}(n) - F_{\mathrm{prime}}(p_{k - 1}) \end{aligned} \]

最后一步推导基于这样一个事实：对于满足 \(p_{i}^{c} \le n < p_{i}^{c + 1}\) 的 \(c\)，有 \(p_{i}^{c + 1} > n \iff n / p_{i}^{c} < p_{i} < p_{i + 1}\)，故 \(F_{i + 1}\left(n / p_{i}^{c}\right) = 0\)。
其边界值即为 \(F_{k}(n) = 0 (p_{k} > n)\)。

假设现在已经求出了所有的 \(F_{\mathrm{prime}}(n)\)，那么有两种方式可以求出所有的 \(F_{k}(n)\)：

  1. 直接按照递推式计算。
  2. 从大到小枚举 \(p\) 转移，仅当 \(p^{2} < n\) 时转移增加值不为零，故按照递推式后缀和优化即可。

现在考虑如何计算 \(F_{\mathrm{prime}}{(n)}\)。
观察求 \(F_{k}(n)\) 的过程，容易发现 \(F_{\mathrm{prime}}\) 有且仅有 \(1, 2, \dots, \left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor, n / \sqrt{n}, \dots, n / 2, n\) 这 \(O(\sqrt{n})\) 处的点值是有用的。
一般情况下，\(f(p)\) 是一个关于 \(p\) 的低次多项式，可以表示为 \(f(p) = \sum a_{i} p^{c_{i}}\)。
那么对于每个 \(p^{c_{i}}\)，其对 \(F_{\mathrm{prime}}(n)\) 的贡献即为 \(a_{i} \sum_{2 \le p \le n} p^{c_{i}}\)。
分开考虑每个 \(p^{c_{i}}\) 的贡献，问题就转变为了：给定 \(n, s, g(p) = p^{s}\)，对所有的 \(m = n / i\)，求 \(\sum_{p \le m} g(p)\)。

Notice：\(g(p) = p^{s}\) 是完全积性函数！

于是设 \(G_{k}(n) := \sum_{i = 1}^{n} \left[p_{k} < \operatorname{lpf}(i) \lor \operatorname{isprime}(i)\right] g(i)\)，即埃筛第 \(k\) 轮筛完后剩下的数的 \(g\) 值之和。
对于一个合数 \(x\)，必定有 \(\operatorname{lpf}(x) \le \sqrt{x}\)，则 \(F_{\mathrm{prime}} = G_{\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor}\)，故只需筛到 \(G_{\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor}\) 即可。
考虑 \(G\) 的边界值，显然为 \(G_{0}(n) = \sum_{i = 2}^{n} g(i)\)。（还记得吗？特别约定了 \(p_{0} = 1\)）
对于转移，考虑埃筛的过程，分开讨论每部分的贡献，有：

  1. 对于 \(n < p_{k}^{2}\) 的部分，\(G\) 值不变，即 \(G_{k}(n) = G_{k - 1}(n)\)。
  2. 对于 \(p_{k}^{2} \le n\) 的部分，被筛掉的数必有质因子 \(p_{k}\)，即 \(-g(p_{k}) G_{k - 1}(n / p_{k})\)。
  3. 对于第二部分，由于 \(p_{k}^{2} \le n \iff p_{k} \le n / p_{k}\)，故会有 \(\operatorname{lpf}(i) < p_{k}\) 的 \(i\) 被减去。这部分应当加回来，即 \(g(p_{k}) G_{k - 1}(p_{k - 1})\)。

则有：

\[ G_{k}(n) = G_{k - 1}(n) - \left[p_{k}^{2} \le n\right] g(p_{k}) (G_{k - 1}(n / p_{k}) - G_{k - 1}(p_{k - 1})) \]

复杂度分析

对于 \(F_{k}(n)\) 的计算，其第一种方法的时间复杂度被证明为 \(O\left(n^{1 - \epsilon}\right)\)（见 zzt 集训队论文 2.3）；
对于第二种方法，其本质即为洲阁筛的第二部分，在洲阁论文中也有提及（6.5.4），其时间复杂度被证明为 \(O\left(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log{n}}\right)\)。

对于 \(F_{\mathrm{prime}}(n)\) 的计算，事实上，其实现与洲阁筛第一部分是相同的。
考虑对于每个 \(m = n / i\)，只有在枚举满足 \(p_{k}^{2} \le m\) 的 \(p_{k}\) 转移时会对时间复杂度产生贡献，则时间复杂度可估计为：

\[ \begin{aligned} T(n) &= \sum_{i^{2} \le n} O\left(\pi\left(\sqrt{i}\right)\right) + \sum_{i^{2} \le n} O\left(\pi\left(\sqrt{\frac{n}{i}}\right)\right) \\ &= \sum_{i^{2} \le n} O\left(\frac{\sqrt{i}}{\ln{\sqrt{i}}}\right) + \sum_{i^{2} \le n} O\left(\frac{\sqrt{\frac{n}{i}}}{\ln{\sqrt{\frac{n}{i}}}}\right) \\ &= O\left(\int_{1}^{\sqrt{n}} \frac{\sqrt{\frac{n}{x}}}{\log{\sqrt{\frac{n}{x}}}} \mathrm{d} x\right) \\ &= O\left(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log{n}}\right) \end{aligned} \]

对于空间复杂度，可以发现不论是 \(F_{k}\) 还是 \(F_{\mathrm{prime}}\)，其均只在 \(n / i\) 处取有效点值，共 \(O(\sqrt{n})\) 个，仅记录有效值即可将空间复杂度优化至 \(O(\sqrt{n})\)。

首先，通过一次数论分块可以得到所有的有效值，用一个大小为 \(O(\sqrt{n})\) 的数组 \(\text{lis}\) 记录。对于有效值 \(v\)，记 \(\text{id}(v)\) 为 \(v\) 在 \(\text{lis}\) 中的下标，易得：对于所有有效值 \(v\)，\(\text{id}(v) \le \sqrt{n}\)。

然后分开考虑小于等于 \(\sqrt{n}\) 的有效值和大于 \(\sqrt{n}\) 的有效值：对于小于等于 \(\sqrt{n}\) 的有效值 \(v\)，用一个数组 \(\text{le}\) 记录其 \(\text{id}(v)\)，即 \(\text{le}_v = \text{id}(v)\)；对于大于 \(\sqrt{n}\) 的有效值 \(v\)，用一个数组 \(\text{ge}\) 记录 \(\text{id}(v)\)，由于 \(v\) 过大所以借助 \(v' = n / v < \sqrt{n}\) 记录 \(\text{id}(v)\)，即 \(\text{ge}_{v'} = \text{id}(v)\)。

这样，就可以使用两个大小为 \(O(\sqrt{n})\) 的数组记录所有有效值的 \(\text{id}\) 并 \(O(1)\) 查询。在计算 \(F_{k}\) 或 \(F_{\mathrm{prime}}\) 时，使用有效值的 \(\text{id}\) 代替有效值作为下标，即可将空间复杂度优化至 \(O(\sqrt{n})\)。

过程

对于 \(F_{k}(n)\) 的计算，我们实现时一般选择实现难度较低的第一种方法，其在数据规模较小时往往比第二种方法的表现要好；

对于 \(F_{\mathrm{prime}}(n)\) 的计算，直接按递推式实现即可。

对于 \(p_{k}^{2} \le n\)，可以用线性筛预处理出 \(s_{k} := F_{\mathrm{prime}}(p_{k})\) 来替代 \(F_{k}\) 递推式中的 \(F_{\mathrm{prime}}(p_{k - 1})\)。
相应地，\(G\) 递推式中的 \(G_{k - 1}(p_{k - 1}) = \sum_{i = 1}^{k - 1} g(p_{i})\) 也可以用此方法预处理。

用 Extended Eratosthenes Sieve 求 积性函数 \(f\) 的前缀和时，应当明确以下几点：

  • 如何快速（一般是线性时间复杂度）筛出前 \(\sqrt{n}\) 个 \(f\) 值；
  • \(f(p)\) 的多项式表示；
  • 如何快速求出 \(f(p^{c})\)。

明确上述几点之后按顺序实现以下几部分即可：

  1. 筛出 \([1, \sqrt{n}]\) 内的质数与前 \(\sqrt{n}\) 个 \(f\) 值；
  2. 对 \(f(p)\) 多项式表示中的每一项筛出对应的 \(G\)，合并得到 \(F_{\mathrm{prime}}\) 的所有 \(O(\sqrt{n})\) 个有用点值；
  3. 按照 \(F_{k}\) 的递推式实现递归，求出 \(F_{1}(n)\)。

例题

求莫比乌斯函数的前缀和

求 \(\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \mu(i)\)。

易知 \(f(p) = -1\)。则 \(g(p) = -1, G_{0}(n) = \sum_{i = 2}^{n} g(i) = -n + 1\)。
直接筛即可得到 \(F_{\mathrm{prime}}\) 的所有 \(O(\sqrt{n})\) 个所需点值。

求欧拉函数的前缀和

求 \(\displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \varphi(i)\)。

首先易知 \(f(p) = p - 1\)。
对于 \(f(p)\) 的一次项 \((p)\)，有 \(g(p) = p, G_{0}(n) = \sum_{i = 2}^{n} g(i) = \frac{(n + 2) (n - 1)}{2}\)；
对于 \(f(p)\) 的常数项 \((-1)\)，有 \(g(p) = -1, G_{0}(n) = \sum_{i = 2}^{n} g(i) = -n + 1\)。
筛两次加起来即可得到 \(F_{\mathrm{prime}}\) 的所有 \(O(\sqrt{n})\) 个所需点值。

「LOJ #6053」简单的函数

给定 \(f(n)\)：

\[ f(n) = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ p \operatorname{xor} c & n = p^{c} \\ f(a)f(b) & n = ab \land a \perp b \end{cases} \]

易知 \(f(p) = p - 1 + 2[p = 2]\)。则按照筛 \(\varphi\) 的方法筛，对 \(2\) 讨论一下即可。
此处给出一种 C++ 实现：

参考代码 
/* 「LOJ #6053」简单的函数 */
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>

const int maxs = 200000;  // 2sqrt(n)
const int mod = 1000000007;

template <typename x_t, typename y_t>
void inc(x_t &x, const y_t &y) {
  x += y;
  (mod <= x) && (x -= mod);
}

template <typename x_t, typename y_t>
void dec(x_t &x, const y_t &y) {
  x -= y;
  (x < 0) && (x += mod);
}

template <typename x_t, typename y_t>
int sum(const x_t &x, const y_t &y) {
  return x + y < mod ? x + y : (x + y - mod);
}

template <typename x_t, typename y_t>
int sub(const x_t &x, const y_t &y) {
  return x < y ? x - y + mod : (x - y);
}

template <typename _Tp>
int div2(const _Tp &x) {
  return ((x & 1) ? x + mod : x) >> 1;
}

// 以上目的均为防负数和取模
template <typename _Tp>
long long sqrll(const _Tp &x) {  // 平方函数
  return (long long)x * x;
}

int pri[maxs / 7], lpf[maxs + 1], spri[maxs + 1], pcnt;

void sieve(const int &n) {
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (lpf[i] == 0) {  // 记录质数
      lpf[i] = ++pcnt;
      pri[lpf[i]] = i;
      spri[pcnt] = sum(spri[pcnt - 1], i);  // 前缀和
    }
    for (int j = 1, v; j <= lpf[i] && (v = i * pri[j]) <= n; ++j) lpf[v] = j;
  }
}

long long global_n;
int lim;
int le[maxs + 1],  // x <= \sqrt{n}
    ge[maxs + 1];  // x > \sqrt{n}
#define idx(v) (v <= lim ? le[v] : ge[global_n / v])

int G[maxs + 1][2], Fprime[maxs + 1];
long long lis[maxs + 1];
int cnt;

void init(const long long &n) {
  for (long long i = 1, j, v; i <= n; i = n / j + 1) {
    j = n / i;
    v = j % mod;
    lis[++cnt] = j;
    (j <= lim ? le[j] : ge[global_n / j]) = cnt;
    G[cnt][0] = sub(v, 1ll);
    G[cnt][1] = div2((long long)(v + 2ll) * (v - 1ll) % mod);
  }
}

void calcFprime() {
  for (int k = 1; k <= pcnt; ++k) {
    const int p = pri[k];
    const long long sqrp = sqrll(p);
    for (int i = 1; lis[i] >= sqrp; ++i) {
      const long long v = lis[i] / p;
      const int id = idx(v);
      dec(G[i][0], sub(G[id][0], k - 1));
      dec(G[i][1], (long long)p * sub(G[id][1], spri[k - 1]) % mod);
    }
  }
  /* F_prime = G_1 - G_0 */
  for (int i = 1; i <= cnt; ++i) Fprime[i] = sub(G[i][1], G[i][0]);
}

int f_p(const int &p, const int &c) {
  /* f(p^{c}) = p xor c */
  return p xor c;
}

int F(const int &k, const long long &n) {
  if (n < pri[k] || n <= 1) return 0;
  const int id = idx(n);
  long long ans = Fprime[id] - (spri[k - 1] - (k - 1));
  if (k == 1) ans += 2;
  for (int i = k; i <= pcnt && sqrll(pri[i]) <= n; ++i) {
    long long pw = pri[i], pw2 = sqrll(pw);
    for (int c = 1; pw2 <= n; ++c, pw = pw2, pw2 *= pri[i])
      ans +=
          ((long long)f_p(pri[i], c) * F(i + 1, n / pw) + f_p(pri[i], c + 1)) %
          mod;
  }
  return ans % mod;
}

int main() {
  scanf("%lld", &global_n);
  lim = sqrt(global_n);  // 上限

  sieve(lim + 1000);  // 预处理
  init(global_n);
  calcFprime();
  printf("%lld\n", (F(1, global_n) + 1ll + mod) % mod);

  return 0;
}