多项式初等函数

本页面包含多项式常见的初等函数操作。具体而言，本页面包含如下内容：

多项式求逆
多项式开方
多项式除法
多项式取模
多项式指数函数
多项式对数函数
多项式三角函数
多项式反三角函数

初等函数与非初等函数

初等函数的定义如下¹：

若域 \(F\) 中存在映射 \(u\to \partial u\) 满足：

\(\partial(u+v)=\partial u+\partial v\)
\(\partial(uv)=u\partial v+v\partial u\)

则称这个域为 微分域。

若微分域 \(F\) 上的函数 \(u\) 满足以下的任意一条条件，则称该函数 \(u\) 为初等函数：

\(u\) 是 \(F\) 上的代数函数。
\(u\) 是 \(F\) 上的指数性函数，即存在 \(a\in F\) 使得 \(\partial u=u\partial a\).
\(u\) 是 \(F\) 上的对数性函数，即存在 \(a\in F\) 使得 \(\partial u=\frac{\partial a}{a}\).

以下是常见的初等函数：

代数函数：存在有限次多项式 \(P\) 使得 \(P(f(x))=0\) 的函数 \(f(x)\)，如 \(2x+1\),\(\sqrt{x}\),\((1+x^2)^{-1}\),\(|x|\).
指数函数
对数函数
三角函数
反三角函数
双曲函数
反双曲函数
以上函数的复合，如：

\[ \frac{\mathrm{e}^{\tan x}}{1+x^2}\sin\left(\sqrt{1+\ln^2 x}\right) \]

\[ -\mathrm{i} \ln\left(x+\mathrm{i}\sqrt{1-x^2}\right) \]

以下是常见的非初等函数：

误差函数：

\[ \operatorname{erf}(x):=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}\exp\left(-t^2\right)\mathrm{d}t \]

多项式求逆¶

给定多项式 \(f\left(x\right)\)，求 \(f^{-1}\left(x\right)\)。

解法¶

倍增法¶

首先，易知

\[ \left[x^{0}\right]f^{-1}\left(x\right)=\left(\left[x^{0}\right]f\left(x\right)\right)^{-1} \]

假设现在已经求出了 \(f\left(x\right)\) 在模 \(x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}\) 意义下的逆元 \(f^{-1}_{0}\left(x\right)\)。有：

\[ \begin{aligned} f\left(x\right)f^{-1}_{0}\left(x\right)&\equiv 1 &\pmod{x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}}\\ f\left(x\right)f^{-1}\left(x\right)&\equiv 1 &\pmod{x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}}\\ f^{-1}\left(x\right)-f^{-1}_{0}\left(x\right)&\equiv 0 &\pmod{x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}} \end{aligned} \]

两边平方可得：

\[ f^{-2}\left(x\right)-2f^{-1}\left(x\right)f^{-1}_{0}\left(x\right)+f^{-2}_{0}\left(x\right)\equiv 0 \pmod{x^{n}} \]

两边同乘 \(f\left(x\right)\) 并移项可得：

\[ f^{-1}\left(x\right)\equiv f^{-1}_{0}\left(x\right)\left(2-f\left(x\right)f^{-1}_{0}\left(x\right)\right) \pmod{x^{n}} \]

递归计算即可。

时间复杂度

\[ T\left(n\right)=T\left(\frac{n}{2}\right)+O\left(n\log{n}\right)=O\left(n\log{n}\right) \]

Newton's Method¶

参见 Newton's Method.

Graeffe 法¶

欲求 \(f^{-1}(x)\bmod x^{2n}\) 考虑

\[ \begin{aligned} f^{-1}(x)\bmod x^{2n}&= f(-x)(f(x)f(-x))^{-1}\bmod x^{2n}\\ &=f(-x)g^{-1}(x^2)\bmod x^{2n} \end{aligned} \]

只需求出 \(g^{-1}(x)\bmod x^n\) 即可还原出 \(g^{-1}(x^2)\bmod x^{2n}\) 因为 \(f(x)f(-x)\) 是偶函数，时间复杂度同上。

代码¶

多项式求逆

constexpr int maxn = 262144;
constexpr int mod = 998244353;

using i64 = long long;
using poly_t = int[maxn];
using poly = int *const;

void polyinv(const poly &h, const int n, poly &f) {
  /* f = 1 / h = f_0 (2 - f_0 h) */
  static poly_t inv_t;
  std::fill(f, f + n + n, 0);
  f[0] = fpow(h[0], mod - 2);
  for (int t = 2; t <= n; t <<= 1) {
    const int t2 = t << 1;
    std::copy(h, h + t, inv_t);
    std::fill(inv_t + t, inv_t + t2, 0);

    DFT(f, t2);
    DFT(inv_t, t2);
    for (int i = 0; i != t2; ++i)
      f[i] = (i64)f[i] * sub(2, (i64)f[i] * inv_t[i] % mod) % mod;
    IDFT(f, t2);

    std::fill(f + t, f + t2, 0);
  }
}

例题¶

有标号简单无向连通图计数：「POJ 1737」Connected Graph

多项式开方¶

给定多项式 \(g\left(x\right)\)，求 \(f\left(x\right)\)，满足：

\[ f^{2}\left(x\right)\equiv g\left(x\right) \pmod{x^{n}} \]

解法¶

倍增法¶

首先讨论 \(\left[x^0\right]g(x)\) 不为 \(0\) 的情况。

易知：

\[ \left[x^0\right]f(x) = \sqrt{\left[x^0\right]g(x)} \]

若 \(\left[x^0\right]g(x)\) 没有平方根，则多项式 \(g(x)\) 没有平方根。

\(\left[x^0\right]g(x)\) 可能有多个平方根，选取不同的根会求出不同的 \(f(x)\)。

假设现在已经求出了 \(g\left(x\right)\) 在模 \(x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}\) 意义下的平方根 \(f_{0}\left(x\right)\)，则有：

\[ \begin{aligned} f_{0}^{2}\left(x\right)&\equiv g\left(x\right) &\pmod{x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}}\\ f_{0}^{2}\left(x\right)-g\left(x\right)&\equiv 0 &\pmod{x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil}}\\ \left(f_{0}^{2}\left(x\right)-g\left(x\right)\right)^{2}&\equiv 0 &\pmod{x^{n}}\\ \left(f_{0}^{2}\left(x\right)+g\left(x\right)\right)^{2}&\equiv 4f_{0}^{2}\left(x\right)g\left(x\right) &\pmod{x^{n}}\\ \left(\frac{f_{0}^{2}\left(x\right)+g\left(x\right)}{2f_{0}\left(x\right)}\right)^{2}&\equiv g\left(x\right) &\pmod{x^{n}}\\ \frac{f_{0}^{2}\left(x\right)+g\left(x\right)}{2f_{0}\left(x\right)}&\equiv f\left(x\right) &\pmod{x^{n}}\\ 2^{-1}f_{0}\left(x\right)+2^{-1}f_{0}^{-1}\left(x\right)g\left(x\right)&\equiv f\left(x\right) &\pmod{x^{n}} \end{aligned} \]

倍增计算即可。

时间复杂度

\[ T\left(n\right)=T\left(\frac{n}{2}\right)+O\left(n\log{n}\right)=O\left(n\log{n}\right) \]

还有一种常数较小的写法就是在倍增维护 \(f\left(x\right)\) 的时候同时维护 \(f^{-1}\left(x\right)\) 而不是每次都求逆。

当 \(\left[x^{0}\right]g\left(x\right)\neq 1\) 时，可能需要使用二次剩余来计算 \(\left[x^{0}\right]f\left(x\right)\)。

上述方法需要知道 \(f_{0}(x)\) 的逆，所以常数项不能为 \(0\)。

若 \(\left[x^0\right]g(x) = 0\)，则将 \(g(x)\) 分解成 \(x^{k}h(x)\)，其中 \(\left[x^0\right]h(x) \not = 0\)。

若 \(k\) 是奇数，则 \(g(x)\) 没有平方根。
若 \(k\) 是偶数，则求出 \(h(x)\) 的平方根 \(\sqrt{h(x)}\)，然后得到 \(f(x) \equiv x^{k/2} \sqrt{h(x)} \pmod{x^{n}}\)。

洛谷模板题 P5205【模板】多项式开根参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1 << 20, mod = 998244353;

int a[maxn], b[maxn], g[maxn], gg[maxn];

int qpow(int x, int y) {  // 快速幂
  int ans = 1;

  while (y) {
    if (y & 1) {
      ans = (long long)1 * ans * x % mod;
    }
    x = (long long)1 * x * x % mod;
    y >>= 1;
  }
  return ans;
}

int inv2 = qpow(2, mod - 2);  // 逆元

void change(int *f, int len) {
  for (int i = 1, j = len / 2; i < len - 1; i++) {
    if (i < j) {
      swap(f[i], f[j]);
    }

    int k = len / 2;
    while (j >= k) {
      j -= k;
      k /= 2;
    }
    if (j < k) {
      j += k;
    }
  }
}

void NTT(int *f, int len, int type) {  // NTT
  change(f, len);

  for (int q = 2; q <= len; q <<= 1) {
    int nxt = qpow(3, (mod - 1) / q);
    for (int i = 0; i < len; i += q) {
      int w = 1;

      for (int k = i; k < i + (q >> 1); k++) {
        int x = f[k];
        int y = (long long)1 * w * f[k + (q / 2)] % mod;

        f[k] = (x + y) % mod;
        f[k + (q / 2)] = (x - y + mod) % mod;
        w = (long long)1 * w * nxt % mod;
      }
    }
  }

  if (type == -1) {
    reverse(f + 1, f + len);
    int iv = qpow(len, mod - 2);

    for (int i = 0; i < len; i++) {
      f[i] = (long long)1 * f[i] * iv % mod;
    }
  }
}

void inv(int deg, int *f, int *h) {  // 求逆元
  if (deg == 1) {
    h[0] = qpow(f[0], mod - 2);
    return;
  }

  inv(deg + 1 >> 1, f, h);

  int len = 1;
  while (len < deg * 2) {  // 倍增
    len *= 2;
  }

  copy(f, f + deg, gg);
  fill(gg + deg, gg + len, 0);

  NTT(gg, len, 1);
  NTT(h, len, 1);
  for (int i = 0; i < len; i++) {
    h[i] = (long long)1 * (2 - (long long)1 * gg[i] * h[i] % mod + mod) % mod *
           h[i] % mod;
  }

  NTT(h, len, -1);
  fill(h + deg, h + len, 0);
}

int n, t[maxn];

// deg:次数
// f:被开根数组
// h:答案数组
void sqrt(int deg, int *f, int *h) {
  if (deg == 1) {
    h[0] = 1;
    return;
  }

  sqrt(deg + 1 >> 1, f, h);

  int len = 1;
  while (len < deg * 2) {  // 倍增
    len *= 2;
  }
  fill(g, g + len, 0);
  inv(deg, h, g);
  copy(f, f + deg, t);
  fill(t + deg, t + len, 0);
  NTT(t, len, 1);
  NTT(g, len, 1);
  NTT(h, len, 1);

  for (int i = 0; i < len; i++) {
    h[i] = (long long)1 * inv2 *
           ((long long)1 * h[i] % mod + (long long)1 * g[i] * t[i] % mod) % mod;
  }
  NTT(h, len, -1);
  fill(h + deg, h + len, 0);
}

int main() {
  cin >> n;

  for (int i = 0; i < n; i++) {
    scanf("%d", &a[i]);
  }
  sqrt(n, a, b);

  for (int i = 0; i < n; i++) {
    printf("%d ", b[i]);
  }

  return 0;
}

Newton's Method¶

参见 Newton's Method.

例题¶

「Codeforces Round #250」E. The Child and Binary Tree

多项式除法 & 取模¶

给定多项式 \(f\left(x\right),g\left(x\right)\)，求 \(g\left(x\right)\) 除 \(f\left(x\right)\) 的商 \(Q\left(x\right)\) 和余数 \(R\left(x\right)\)。

解法¶

发现若能消除 \(R\left(x\right)\) 的影响则可直接多项式求逆解决。

考虑构造变换

\[ f^{R}\left(x\right)=x^{\operatorname{deg}{f}}f\left(\frac{1}{x}\right) \]

观察可知其实质为反转 \(f\left(x\right)\) 的系数。

设 \(n=\operatorname{deg}{f},m=\operatorname{deg}{g}\)。

将 \(f\left(x\right)=Q\left(x\right)g\left(x\right)+R\left(x\right)\) 中的 \(x\) 替换成 \(\frac{1}{x}\) 并将其两边都乘上 \(x^{n}\)，得到：

\[ \begin{aligned} x^{n}f\left(\frac{1}{x}\right)&=x^{n-m}Q\left(\frac{1}{x}\right)x^{m}g\left(\frac{1}{x}\right)+x^{n-m+1}x^{m-1}R\left(\frac{1}{x}\right)\\ f^{R}\left(x\right)&=Q^{R}\left(x\right)g^{R}\left(x\right)+x^{n-m+1}R^{R}\left(x\right) \end{aligned} \]

注意到上式中 \(R^{R}\left(x\right)\) 的系数为 \(x^{n-m+1}\)，则将其放到模 \(x^{n-m+1}\) 意义下即可消除 \(R^{R}\left(x\right)\) 带来的影响。

又因 \(Q^{R}\left(x\right)\) 的次数为 \(\left(n-m\right)<\left(n-m+1\right)\)，故 \(Q^{R}\left(x\right)\) 不会受到影响。

则：

\[ f^{R}\left(x\right)\equiv Q^{R}\left(x\right)g^{R}\left(x\right)\pmod{x^{n-m+1}} \]

使用多项式求逆即可求出 \(Q\left(x\right)\)，将其反代即可得到 \(R\left(x\right)\)。

时间复杂度 \(O\left(n\log{n}\right)\)。

多项式对数函数 & 指数函数¶

给定多项式 \(f(x)\)，求模 \(x^{n}\) 意义下的 \(\ln{f(x)}\) 与 \(\exp{f(x)}\)。

解法¶

普通方法¶

多项式对数函数多项式指数函数

首先，对于多项式 \(f(x)\)，若 \(\ln{f(x)}\) 存在，则由其定义，其必须满足：

\[ [x^{0}]f(x)=1 \]

对 \(\ln{f(x)}\) 求导再积分，可得：

\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} \ln{f(x)}}{\mathrm{d} x} & \equiv \frac{f'(x)}{f(x)} & \pmod{x^{n}} \\ \ln{f(x)} & \equiv \int \mathrm{d} \ln{x} \equiv \int\frac{f'(x)}{f(x)} \mathrm{d} x & \pmod{x^{n}} \end{aligned} \]

多项式的求导，积分时间复杂度为 \(O(n)\)，求逆时间复杂度为 \(O(n\log{n})\)，故多项式求 \(\ln\) 时间复杂度 \(O(n\log{n})\)。

首先，对于多项式 \(f(x)\)，若 \(\exp{f(x)}\) 存在，则其必须满足：

\[ [x^{0}]f(x)=0 \]

否则 \(\exp{f(x)}\) 的常数项不收敛。

对 \(\exp{f(x)}\) 求导，可得：

\[ \frac{\mathrm{d} \exp{f(x)}}{\mathrm{d} x} \equiv \exp{f(x)}f'(x)\pmod{x^{n}} \]

比较两边系数可得：

\[ [x^{n-1}]\frac{\mathrm{d} \exp{f(x)}}{\mathrm{d} x} = \sum_{i = 0}^{n - 1} \left([x^{i}]\exp{f(x)}\right) \left([x^{n-i-1}]f'(x)\right) \]

\[ n[x^{n}]\exp{f(x)} = \sum_{i = 0}^{n} \left([x^{i}]\exp{f(x)}\right) \left((n - i + 1)[x^{n - i}]f(x)\right) \]

又 \([x^{0}]f(x)=0\)，则：

\[ n[x^{n}]\exp{f(x)} = \sum_{i = 0}^{n - 1} \left([x^{i}]\exp{f(x)}\right) \left((n - i + 1)[x^{n - i}]f(x)\right) \]

使用分治 FFT 即可解决。

时间复杂度 \(O(n\log^{2}{n})\)。

Newton's Method¶

使用 Newton's Method 即可在 \(O(n\log{n})\) 的时间复杂度内解决多项式 \(\exp\)。

代码¶

多项式 ln/exp

constexpr int maxn = 262144;
constexpr int mod = 998244353;

using i64 = long long;
using poly_t = int[maxn];
using poly = int *const;

void derivative(const poly &h, const int n, poly &f) {
  for (int i = 1; i != n; ++i) f[i - 1] = (i64)h[i] * i % mod;
  f[n - 1] = 0;
}

void integrate(const poly &h, const int n, poly &f) {
  for (int i = n - 1; i; --i) f[i] = (i64)h[i - 1] * inv[i] % mod;
  f[0] = 0; /* C */
}

void polyln(const poly &h, const int n, poly &f) {
  /* f = ln h = ∫ h' / h dx */
  assert(h[0] == 1);
  static poly_t ln_t;
  const int t = n << 1;

  derivative(h, n, ln_t);
  std::fill(ln_t + n, ln_t + t, 0);
  polyinv(h, n, f);

  DFT(ln_t, t);
  DFT(f, t);
  for (int i = 0; i != t; ++i) ln_t[i] = (i64)ln_t[i] * f[i] % mod;
  IDFT(ln_t, t);

  integrate(ln_t, n, f);
}

void polyexp(const poly &h, const int n, poly &f) {
  /* f = exp(h) = f_0 (1 - ln f_0 + h) */
  assert(h[0] == 0);
  static poly_t exp_t;
  std::fill(f, f + n + n, 0);
  f[0] = 1;
  for (int t = 2; t <= n; t <<= 1) {
    const int t2 = t << 1;

    polyln(f, t, exp_t);
    exp_t[0] = sub(pls(h[0], 1), exp_t[0]);
    for (int i = 1; i != t; ++i) exp_t[i] = sub(h[i], exp_t[i]);
    std::fill(exp_t + t, exp_t + t2, 0);

    DFT(f, t2);
    DFT(exp_t, t2);
    for (int i = 0; i != t2; ++i) f[i] = (i64)f[i] * exp_t[i] % mod;
    IDFT(f, t2);

    std::fill(f + t, f + t2, 0);
  }
}

例题¶

计算 \(f^{k}(x)\)

普通做法为多项式快速幂，时间复杂度 \(O(n\log{n}\log{k})\)。

当 \([x^{0}]f(x)=1\) 时，有：

\[ f^{k}(x)=\exp{\left(k\ln{f(x)}\right)} \]

当 \([x^{0}]f(x)\neq 1\) 时，设 \(f(x)\) 的最低次项为 \(f_{i}x^{i}\)，则：

\[ f^{k}(x)=f_{i}^{k}x^{ik}\exp{\left(k\ln{\frac{f(x)}{f_{i}x^{i}}}\right)} \]

时间复杂度 \(O(n\log{n})\)。

多项式三角函数¶

给定多项式 \(f\left(x\right)\)，求模 \(x^{n}\) 意义下的 \(\sin{f\left(x\right)}, \cos{f\left(x\right)}\) 与 \(\tan{f\left(x\right)}\)。

解法¶

首先由 Euler's formula \(\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} = \cos{x} + \mathrm{i}\sin{x}\right)\) 可以得到三角函数的另一个表达式：

\[ \begin{aligned} \sin{x} &= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}} \\ \cos{x} &= \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2} \end{aligned} \]

那么代入 \(f\left(x\right)\) 就有：

\[ \begin{aligned} \sin{f\left(x\right)} &= \frac{\exp{\left(\mathrm{i}f\left(x\right)\right)} - \exp{\left(-\mathrm{i}f\left(x\right)\right)}}{2\mathrm{i}} \\ \cos{f\left(x\right)} &= \frac{\exp{\left(\mathrm{i}f\left(x\right)\right)} + \exp{\left(-\mathrm{i}f\left(x\right)\right)}}{2} \end{aligned} \]

直接按上述表达式编写程序即可得到模 \(x^{n}\) 意义下的 \(\sin{f\left(x\right)}\) 与 \(\cos{f\left(x\right)}\)。再由 \(\tan{f\left(x\right)} = \frac{\sin{f\left(x\right)}}{\cos{f\left(x\right)}}\) 可求得 \(\tan{f\left(x\right)}\)。

代码¶

多项式三角函数

注意到我们是在 \(\mathbb{Z}_{998244353}\) 上做 NTT，那么相应地，虚数单位 \(\mathrm{i}\) 应该被换成 \(86583718\) 或 \(911660635\)：

\[ \begin{aligned} & \mathrm{i} = \sqrt{-1} \equiv \sqrt{998244352} \pmod{998244353} \\ \implies & \phantom{\text{or}} \quad \mathrm{i} \equiv 86583718 \pmod{998244353} \\ & \text{or} \quad \mathrm{i} \equiv 911660635 \pmod{998244353} \end{aligned} \]

constexpr int maxn = 262144;
constexpr int mod = 998244353;
constexpr int imgunit = 86583718; /* sqrt(-1) = sqrt(998233452) */

using i64 = long long;
using poly_t = int[maxn];
using poly = int *const;

void polytri(const poly &h, const int n, poly &sin_t, poly &cos_t) {
  /* sin(f) = (exp(i * f) - exp(- i * f)) / 2i */
  /* cos(f) = (exp(i * f) + exp(- i * f)) / 2 */
  /* tan(f) = sin(f) / cos(f) */
  assert(h[0] == 0);
  static poly_t tri1_t, tri2_t;

  for (int i = 0; i != n; ++i) tri2_t[i] = (i64)h[i] * imgunit % mod;
  polyexp(tri2_t, n, tri1_t);
  polyinv(tri1_t, n, tri2_t);

  if (sin_t != nullptr) {
    const int invi = fpow(pls(imgunit, imgunit), mod - 2);
    for (int i = 0; i != n; ++i)
      sin_t[i] = (i64)(tri1_t[i] - tri2_t[i] + mod) * invi % mod;
  }
  if (cos_t != nullptr) {
    for (int i = 0; i != n; ++i) cos_t[i] = div2(pls(tri1_t[i], tri2_t[i]));
  }
}

多项式反三角函数¶

给定多项式 \(f\left(x\right)\)，求模 \(x^{n}\) 意义下的 \(\arcsin{f\left(x\right)}, \arccos{f\left(x\right)}\) 与 \(\arctan{f\left(x\right)}\)。

解法¶

仿照求多项式 \(\ln\) 的方法，对反三角函数求导再积分可得：

\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arcsin{x} &= \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \\ \arcsin{x} &= \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \mathrm{d} x \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arccos{x} &= - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \\ \arccos{x} &= - \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \mathrm{d} x \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arctan{x} &= \frac{1}{1 + x^{2}} \\ \arctan{x} &= \int \frac{1}{1 + x^{2}} \mathrm{d} x \end{aligned} \]

那么代入 \(f\left(x\right)\) 就有：

\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arcsin{f\left(x\right)} &= \frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1 - f^{2}\left(x\right)}} \\ \arcsin{f\left(x\right)} &= \int \frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1 - f^{2}\left(x\right)}} \mathrm{d} x \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arccos{f\left(x\right)} &= - \frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1 - f^{2}\left(x\right)}} \\ \arccos{f\left(x\right)} &= - \int \frac{f'\left(x\right)}{\sqrt{1 - f^{2}\left(x\right)}} \mathrm{d} x \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \arctan{f\left(x\right)} &= \frac{f'\left(x\right)}{1 + f^{2}\left(x\right)} \\ \arctan{f\left(x\right)} &= \int \frac{f'\left(x\right)}{1 + f^{2}\left(x\right)} \mathrm{d} x \end{aligned} \]

直接按式子求就可以了。

代码¶

多项式反三角函数

constexpr int maxn = 262144;
constexpr int mod = 998244353;

using i64 = long long;
using poly_t = int[maxn];
using poly = int *const;

void derivative(const poly &h, const int n, poly &f) {
  for (int i = 1; i != n; ++i) f[i - 1] = (i64)h[i] * i % mod;
  f[n - 1] = 0;
}

void integrate(const poly &h, const int n, poly &f) {
  for (int i = n - 1; i; --i) f[i] = (i64)h[i - 1] * inv[i] % mod;
  f[0] = 0; /* C */
}

void polyarcsin(const poly &h, const int n, poly &f) {
  /* arcsin(f) = ∫ f' / sqrt(1 - f^2) dx  */
  static poly_t arcsin_t;
  const int t = n << 1;
  std::copy(h, h + n, arcsin_t);
  std::fill(arcsin_t + n, arcsin_t + t, 0);

  DFT(arcsin_t, t);
  for (int i = 0; i != t; ++i) arcsin_t[i] = sqr(arcsin_t[i]);
  IDFT(arcsin_t, t);

  arcsin_t[0] = sub(1, arcsin_t[0]);
  for (int i = 1; i != n; ++i)
    arcsin_t[i] = arcsin_t[i] ? mod - arcsin_t[i] : 0;

  polysqrt(arcsin_t, n, f);
  polyinv(f, n, arcsin_t);
  derivative(h, n, f);

  DFT(f, t);
  DFT(arcsin_t, t);
  for (int i = 0; i != t; ++i) arcsin_t[i] = (i64)f[i] * arcsin_t[i] % mod;
  IDFT(arcsin_t, t);

  integrate(arcsin_t, n, f);
}

void polyarccos(const poly &h, const int n, poly &f) {
  /* arccos(f) = - ∫ f' / sqrt(1 - f^2) dx  */
  polyarcsin(h, n, f);
  for (int i = 0; i != n; ++i) f[i] = f[i] ? mod - f[i] : 0;
}

void polyarctan(const poly &h, const int n, poly &f) {
  /* arctan(f) = ∫ f' / (1 + f^2) dx  */
  static poly_t arctan_t;
  const int t = n << 1;
  std::copy(h, h + n, arctan_t);
  std::fill(arctan_t + n, arctan_t + t, 0);

  DFT(arctan_t, t);
  for (int i = 0; i != t; ++i) arctan_t[i] = sqr(arctan_t[i]);
  IDFT(arctan_t, t);

  inc(arctan_t[0], 1);
  std::fill(arctan_t + n, arctan_t + t, 0);

  polyinv(arctan_t, n, f);
  derivative(h, n, arctan_t);

  DFT(f, t);
  DFT(arctan_t, t);
  for (int i = 0; i != t; ++i) arctan_t[i] = (i64)f[i] * arctan_t[i] % mod;
  IDFT(arctan_t, t);

  integrate(arctan_t, n, f);
}

参考资料与链接¶

Elementary function——Wikipedia ↩