符号化方法
符号化方法（symbolic method）是将组合对象快速转换成生成函数的一种方法，我们将考虑对于集合上定义的特定运算，然后导出其对应的生成函数的运算。
我们称一个组合类（或简称为类）为 \((\mathcal{A},\lvert \cdot \rvert)\)，其中 \(\mathcal{A}\) 为组合对象的集合，函数 \(\lvert \cdot \rvert\) 将每一个组合对象映射为一个非负整数，一般称为大小函数。需要注意的是这个非负整数不能是无限大的。例如对于字符集为 \(\lbrace 0,1\rbrace\) 的字符串，可以将字符串的长度设置为其大小函数；对于树或图可将节点的数量设置为其大小函数，注意这并非绝对，也可能将某些特定节点的大小函数设置为 \(0\) 等。
本文是基于 Analytic Combinatorics 一书第一章的简化。
无标号体系
在无标号体系中将使用普通生成函数（OGF）。对于集合 \(\mathcal{A}\) 其对应 OGF 记为
\[ A(z)=\sum_{\alpha\in\mathcal{A}}z^{\lvert \alpha \rvert}=\sum_{n\geq 0}a_nz^n \]
我们约定使用同一组的字母表示同一个类对应的生成函数等，例如用 \(a_n\) 表示 \(\lbrack z^n\rbrack A(z)\) 即 \(A(z)\) 中 \(z^n\) 的系数，用 \(\mathcal{A}_n\) 表示 \(\mathcal{A}\) 中大小函数为 \(n\) 的对象的集合（所以 \(a_n=\operatorname{card}(\mathcal{A}_n)\) 其中 \(\operatorname{card}\) 为基数（cardinality））。
本文将不讨论可容许性（admissibility），读者可参考文献中的内容。
下面将引入两种特殊的组合类和组合对象：
- 记 \(\epsilon\) 为中性对象（neutral object）和 \(\mathcal{E}=\lbrace \epsilon \rbrace\) 为中性类（neutral class），中性对象的大小为 \(0\)，中性类的 OGF 为 \(E(z)=1\)。
- 记 \(\circ\) 或 \(\bullet\) 为原子对象（atom object）和 \(\mathcal{Z}_{\circ}=\lbrace \circ\rbrace\) 或 \(\mathcal{Z}_{\bullet}=\lbrace \bullet\rbrace\) 或简写为 \(\mathcal{Z}\) 为原子类（atom class），原子对象的大小为 \(1\)，原子类的 OGF 为 \(Z(z)=z\)。
对于两个组合类 \(\mathcal{A}\) 和 \(\mathcal{B}\) 在组合意义上同构记为 \(\mathcal{A}=\mathcal{B}\) 或 \(\mathcal{A}\cong\mathcal{B}\)，但仅当该同构不平凡时才使用后者的记号。
我们有
\[ \mathcal{A}\cong\mathcal{E}\times \mathcal{A}\cong\mathcal{A}\times\mathcal{E} \]
其中 \(\times\) 为二元运算，表示集合的笛卡尔积。
集合的（不相交）并构造
对于类 \(\mathcal{A}\) 和 \(\mathcal{B}\) 的并记为
\[ \mathcal{A}+\mathcal{B}=(\mathcal{E}_{1}\times\mathcal{A})+(\mathcal{E}_2\times\mathcal{B}) \]
如此定义可以不违背集合论中集合不相交的要求，我们可以想象成将 \(\mathcal{A}\) 中的对象染色成红色，将 \(\mathcal{B}\) 中的对象染色成蓝色。
对应 OGF 为
\[ A(z)+B(z) \]
考虑
\[ A(z)+B(z)=\sum _ {\alpha\in\mathcal{A}}z^{\lvert \alpha\rvert} + \sum _ {\beta\in\mathcal{B}}z^{\lvert \beta\rvert}=\sum_{n\geq 0}(a_n+b_n)z^n \]
对应形式幂级数的加法。
集合的笛卡尔积构造
对于类 \(\mathcal{A}\) 和 \(\mathcal{B}\) 的笛卡尔积记为
\[ \mathcal{A}\times \mathcal{B}=\left\lbrace (\alpha, \beta)\mid \alpha \in \mathcal{A},\beta\in\mathcal{B}\right\rbrace \]
对应 OGF 为
\[ A(z)\cdot B(z) \]
我们定义 \((\alpha,\beta)\) 的大小为其组成部分的大小之和，那么显然也有
\[ \gamma =(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_n)\implies \lvert \gamma\rvert =\lvert \alpha_1\rvert +\lvert \alpha_2\rvert +\cdots +\lvert \alpha_n\rvert \]
所以
\[ A(z)\cdot B(z)=\left(\sum _ {\alpha\in\mathcal{A}}z^{\lvert \alpha\rvert}\right)\left(\sum _ {\beta\in\mathcal{B}}z^{\lvert \beta\rvert}\right)=\sum _ {(\alpha, \beta)\in(\mathcal{A}\times \mathcal{B})}z^{\lvert \alpha\rvert +\lvert \beta\rvert}=\sum_{n\geq 0}\sum_{i+j=n}a_ib_jz^n \]
对应形式幂级数的乘法。
集合的 Sequence 构造
Sequence 构造生成了所有可能的组合。
例
\[ \begin{aligned} \operatorname{SEQ}(\lbrace a\rbrace)&=\lbrace \epsilon\rbrace +\lbrace a\rbrace +\lbrace (a,a)\rbrace +\lbrace (a,a,a)\rbrace +\cdots\\ \operatorname{SEQ}(\lbrace a,b\rbrace)&=\lbrace \epsilon\rbrace +\lbrace a,b\rbrace +\lbrace (a,b)\rbrace + \lbrace(b,a)\rbrace +\lbrace (a,a)\rbrace +\lbrace (b,b)\rbrace\\ &+\lbrace (a,b,a)\rbrace +\lbrace (a,b,b)\rbrace +\lbrace (a,a,b)\rbrace\\ &+\lbrace (b,b,a)\rbrace +\lbrace (b,a,b)\rbrace +\lbrace (b,b,b)\rbrace +\lbrace (a,a,a)\rbrace +\lbrace (b,a,a)\rbrace\\ &+\cdots \end{aligned} \]
可以看到 \(\lbrace (a,b)\rbrace ,\lbrace (b,a)\rbrace\) 这样组成部分的顺序不同的元素被生成了，可以认为 Sequence 构造生成了有序的组合。
我们定义
\[ \operatorname{SEQ}(\mathcal{A})=\mathcal{E}+\mathcal{A}+(\mathcal{A}\times \mathcal{A})+(\mathcal{A}\times \mathcal{A}\times \mathcal{A})+\cdots \]
且要求 \(\mathcal{A}_0=\varnothing\)，也就是 \(\mathcal{A}\) 中没有大小为 \(0\) 的对象。
对应 OGF 为
\[ Q(A(z))=1+A(z)+A(z)^2+A(z)^3+\cdots =\frac{1}{1-A(z)} \]
其中 \(Q\) 为 Pólya 准逆（quasi-inversion）。
例：有序有根树（ordered rooted tree）
我们可以使用 Sequence 构造来定义有序有根树，即孩子之间的顺序有意义的有根树，设该组合类为 \(\mathcal{T}\) 那么一棵树为一个根节点和树的 Sequence，即
\[ \mathcal{T}=\lbrace \bullet\rbrace\times\operatorname{SEQ}(\mathcal{T}) \]
对应 OGF 为
\[ T(z)=\frac{z}{1-T(z)} \]
前几项系数为 0 1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796，忽略常数项即 OEIS A000108。
集合的 Multiset 构造
Multiset 构造生成了所有可能的组合，但不区分组成部分的元素之间的顺序。
例
\[ \begin{aligned} \operatorname{MSET}(\lbrace a\rbrace)&=\lbrace \epsilon\rbrace +\lbrace a\rbrace +\lbrace (a,a)\rbrace +\lbrace (a,a,a)\rbrace +\cdots\\ \operatorname{MSET}(\lbrace a,b\rbrace)&=\lbrace \epsilon\rbrace +\lbrace a\rbrace +\lbrace (a,a)\rbrace +\lbrace (a,a,a)\rbrace +\cdots\\ &+\lbrace b\rbrace +\lbrace (a,b)\rbrace +\lbrace (a,a,b)\rbrace +\cdots \\ &+\lbrace (b,b)\rbrace + \lbrace (a,b,b)\rbrace +\lbrace (a,a,b,b)\rbrace + \cdots\\ &+\cdots \end{aligned} \]
注意到 \(\lbrace (b,a)\rbrace,\lbrace (a,b,a)\rbrace\) 在 \(\operatorname{SEQ}(\lbrace a,b\rbrace)\) 中出现，但在 \(\operatorname{MSET}(\lbrace a,b\rbrace)\) 没有出现，可以认为 Multiset 生成了无序的组合。
我们定义其递推式为
\[ \operatorname{MSET}(\lbrace \alpha_0,\alpha_1,\dots, \alpha_n\rbrace)=\operatorname{MSET}(\lbrace \alpha_0,\alpha_1,\dots, \alpha_{n-1}\rbrace)\times \operatorname{SEQ}(\lbrace \alpha_n\rbrace) \]
即
\[ \operatorname{MSET}(\mathcal{A})=\prod _ {\alpha\in\mathcal{A}}\operatorname{SEQ}(\lbrace \alpha\rbrace) \]
且要求 \(\mathcal{A}_0=\varnothing\)。或者也可以给出等价的
\[ \operatorname{MSET}(\mathcal{A})=\operatorname{SEQ}(\mathcal{A})/\mathbf{R} \]
其中 \(\mathbf{R}\) 为等价关系，我们说 \((\alpha_1,\dots,\alpha_n)\mathbf{R}(\beta_1,\dots,\beta_n)\) 当且仅当存在任一置换 \(\sigma\) 对于所有 \(j\) 满足 \(\beta_{j}=\alpha_{\sigma(j)}\)。
对应 OGF 为
\[ \operatorname{Exp}(A(z))=\prod _ {\alpha \in\mathcal{A}}\left(1-z^{\lvert \alpha \rvert}\right)^{-1}=\prod _ {n\geq 1}\left(1-z^n\right)^{-a_n} \]
注意到
\[ \ln(1+z)=\frac{z}{1}-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\cdots =\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1}z^n}{n} \]
且 \(A(z)=\exp(\ln(A(z)))\) 所以
\[ \begin{aligned} \operatorname{Exp}(A(z))&=\exp\left(\sum _ {n\geq 1}-a_n\cdot \ln\left(1-z^n\right)\right)\\ &=\exp\left(\sum _ {n\geq 1}-a_n\cdot \sum _ {m\geq 1}\frac{-z^{nm}}{m}\right)\\ &=\exp\left(\frac{A(z)}{1}+\frac{A(z^2)}{2}+\frac{A(z^3)}{3}+\cdots \right) \end{aligned} \]
其中 \(\operatorname{Exp}\) 为 Pólya 指数，也被称为 Euler 变换。
例题 LOJ 6268. 分拆数
题意：令 \(f(n)\) 表示将 \(n\) 进行分拆的方案数，求 \(f(1),f(2),\dots,f(10^5)\) 对 \(998244353\) 取模的值。
解：设全体正整数类为 \(\mathcal{I}\)，那么 \(\mathcal{I}=\operatorname{SEQ}_{\geq 1}(\mathcal{Z})=\mathcal{Z}\times \operatorname{SEQ}(\mathcal{Z})\)（下标 \(\geq 1\) 为有限制的构造，见后文）。所求即
\[ \operatorname{MSET}(\mathcal{I}) \]
对应 OGF 前几项系数为 1 2 3 5 7 11 15 22 30 42（忽略常数项）即 OEIS A000041。
例题 洛谷 P4389 付公主的背包
题意：给出 \(n\) 种体积分别为 \(v_1,\dots ,v_n\) 的商品和正整数 \(m\)，求体积为 \(1,2,\dots,m\) 的背包装满的方案数（商品数量不限，有同体积的不同种商品）对 \(998244353\) 取模的值。约定 \(1\leq n,m\leq 10^5\) 且 \(1\leq v_i\leq m\)。
解：设商品的组合类为 \(\mathcal{A}\)，所求即 \(\operatorname{MSET}(\mathcal{A})\) 对应 OGF 的系数。
例题 洛谷 P5900 无标号无根树计数
题意：求出 \(n\) 个节点的无标号无根树的个数对 \(998244353\) 取模的值。约定 \(1\leq n\leq 2\times 10^5\)。
解：设无标号有根树的组合类为 \(\mathcal{T}\)，那么
\[ \mathcal{T}=\lbrace \bullet\rbrace\times\operatorname{MSET}(\mathcal{T}) \]
根据 Richard Otter 的论文 The Number of Trees 中的描述，对应无根树的 OGF 为
\[ T(z)-\frac{1}{2}T^2(z)+\frac{1}{2}T(z^2) \]
前几项系数为 1 1 1 2 3 6 11 23 47 106（忽略常数项）即 OEIS A000055。
集合的 Powerset 构造
Powerset 构造生成了所有子集。
例
\[ \begin{aligned} \operatorname{PSET}(\lbrace a\rbrace)&=\lbrace \epsilon\rbrace +\lbrace a\rbrace \\ \operatorname{PSET}(\lbrace a,b\rbrace)&=\lbrace \epsilon\rbrace +\lbrace a\rbrace +\lbrace b\rbrace +\lbrace (a,b)\rbrace \\ \operatorname{PSET}(\lbrace a,b,c\rbrace)&=\lbrace \epsilon\rbrace +\lbrace a\rbrace +\lbrace b\rbrace +\lbrace (a,b)\rbrace +\lbrace c\rbrace +\lbrace (a,c)\rbrace +\lbrace (b,c)\rbrace +\lbrace (a,b,c)\rbrace\\ \end{aligned} \]
我们定义其递推式为
\[ \operatorname{PSET}(\lbrace \alpha_0,\alpha_1,\dots, \alpha_n\rbrace)=\operatorname{PSET}(\lbrace \alpha_0,\alpha_1,\dots, \alpha_{n-1}\rbrace)\times (\lbrace \epsilon\rbrace +\lbrace \alpha_n\rbrace) \]
即
\[ \operatorname{PSET}(\mathcal{A})\cong \prod _ {\alpha\in\mathcal{A}}\left(\lbrace \epsilon \rbrace +\lbrace \alpha\rbrace\right) \]
且要求 \(\mathcal{A}_0=\varnothing\)。
对应 OGF 为
\[ \begin{aligned} \overline{\operatorname{Exp}}(A(z))&=\prod _ {\alpha\in\mathcal{A}}\left(1+z^{\lvert \alpha \rvert}\right)=\prod _ {n\geq 1}\left(1+z^n\right)^{a_n}\\ &=\exp\left(\sum _ {n\geq 1}a_n\cdot \ln\left(1+z^n\right)\right)\\ &=\exp\left(\sum _ {n\geq 1}a_n\cdot \sum _ {m\geq 1}\frac{(-1)^{m-1}z^{nm}}{m}\right)\\ &=\exp\left(\frac{A(z)}{1}-\frac{A(z^2)}{2}+\frac{A(z^3)}{3}-\cdots \right) \end{aligned} \]
其中 \(\overline{\operatorname{Exp}}\) 为 Pólya 指数·改。
容易发现 \(\operatorname{PSET}(\mathcal{A})\subset \operatorname{MSET}(\mathcal{A})\)。
集合的 Cycle 构造
Cycle 构造生成了所有可能的组合，但不区分仅轮换不同的组合。
我们定义为
\[ \operatorname{CYC}(\mathcal{A})=\left(\operatorname{SEQ}(\mathcal{A})\setminus\lbrace \epsilon\rbrace\right)/\mathbf{S} \]
其中 \(\mathbf{S}\) 为等价关系，我们说 \((\alpha_1,\dots,\alpha_n)\mathbf{S}(\beta_1,\dots,\beta_n)\) 当且仅当存在任一循环移位 \(\tau\) 对于所有 \(j\) 都满足 \(\beta_j=\alpha_{\tau(j)}\)。
例
为了简便我们令 \(\texttt{a},\texttt{b}\) 均为大小为 \(1\) 的字符，这里仅列举大小为 \(3\) 和 \(4\) 的字符串：
\[ \operatorname{CYC}(\lbrace \texttt{a},\texttt{b}\rbrace)_3=\lbrace \texttt{aaa}\rbrace +\lbrace \texttt{aab}\rbrace+\lbrace \texttt{abb}\rbrace+\lbrace \texttt{bbb}\rbrace \]
其中 \(\texttt{aab}\mathbf{S}\texttt{baa}\mathbf{S}\texttt{aba}\) 只保留其一，同样的 \(\texttt{abb}\mathbf{S}\texttt{bab}\mathbf{S}\texttt{bba}\) 只保留其一。
\[ \operatorname{CYC}(\lbrace \texttt{a},\texttt{b}\rbrace)_4=\lbrace \texttt{aaaa}\rbrace +\lbrace \texttt{aaab}\rbrace+\lbrace \texttt{aabb}\rbrace+\lbrace \texttt{abbb}\rbrace+\lbrace \texttt{bbbb}\rbrace +\lbrace \texttt{abab}\rbrace \]
其中 \(\texttt{aaab}\mathbf{S}\texttt{baaa}\mathbf{S}\texttt{abaa}\mathbf{S}\texttt{aaba}\)，\(\texttt{aabb}\mathbf{S}\texttt{baab}\mathbf{S}\texttt{bbaa}\mathbf{S}\texttt{abba}\)，\(\texttt{abbb}\mathbf{S}\texttt{babb}\mathbf{S}\texttt{bbab}\mathbf{S}\texttt{bbba}\) 和 \(\texttt{abab}\mathbf{S}\texttt{baba}\)。
对应 OGF 为
\[ \operatorname{Log}(A(z))=\sum _ {n\geq 1}\frac{\varphi(n)}{n}\ln\frac{1}{1-A(z^n)} \]
其中 \(\varphi\) 为 Euler 函数，\(\operatorname{Log}\) 为 Pólya 对数。
由于证明较复杂，读者可参考 Flajolet 的论文 The Cycle Construction 或 Analytic Combinatorics 的附录。
有限制的构造
对于上述所有构造，我们都没有限制其「组成部分」的个数，若在 \(\operatorname{SEQ}\) 的下标给一个作用于整数的谓词用于约束其组成部分，如
\[ \operatorname{SEQ}_{=k}(\mathcal{B}),\quad \operatorname{SEQ}_{\geq k}(\mathcal{B}),\quad \operatorname{SEQ}_{1..k}(\mathcal{B}) \]
其中 \(\operatorname{SEQ}_{=k}(\mathcal{B})\) 也常简写为 \(\operatorname{SEQ}_k(\mathcal{B})\)，\(\operatorname{SEQ}_{1..k}(\mathcal{B})\) 表示在区间 \(\lbrack 1..k\rbrack\) 上。
令 \(\mathfrak{K}\) 为任意上述 \(\operatorname{SEQ},\operatorname{PSET},\operatorname{MSET},\operatorname{CYC}\) 之一，以及
\[ \mathcal{A}=\mathfrak{K}_k(\mathcal{B}) \]
即我们需要对于 \(\alpha\in\mathcal{A}\) 有
\[ \alpha =\lbrace (\beta_1,\beta_2,\dots ,\beta_k)\mid \beta\in\mathcal{B}\rbrace \]
设 \(\chi\) 函数作用于组合对象上为其组成部分的个数，也就是要令 \(\chi(\alpha)=k\)，不妨增加一元来「跟踪」组成部分的个数。
令
\[ A _ {n,k}=\operatorname{card}\left\lbrace \alpha\in\mathcal{A}\mid \lvert \alpha\rvert =n,\chi(\alpha)=k\right\rbrace \]
那么
\[ A(z,u)=\sum _ {n,k}A _ {n,k}u^kz^n=\sum _ {\alpha\in\mathcal{A}}z^{\lvert \alpha\rvert}u^{\chi(\alpha)} \]
然后我们只要提取出 \(u^k\) 的系数即可获得对应表达式，例如 \(\mathcal{A}=\operatorname{SEQ}_k(\mathcal{B})\) 可直接导出
\[ \begin{aligned} &{}A(z,u)=\sum _ {k\geq 0}u^kB(z)^k=\frac{1}{1-uB(z)}\\ \implies &{}A(z)=B(z)^k \end{aligned} \]
显然也有
\[ \mathcal{A}=\operatorname{SEQ}_{\geq k}(\mathcal{B})\implies A(z)=\frac{B(z)^k}{1-B(z)} \]
而对于 \(\operatorname{MSET} _ k(\mathcal{B})\) 和 \(\operatorname{PSET} _ k(\mathcal{B})\) 已经有
\[ \begin{aligned} &{}A(z,u)=\prod_n\left(1-uz^n\right)^{-b_n}\\ \implies &{}A(z)=\lbrack u^k\rbrack \exp\left(\frac{u}{1}B(z)+\frac{u^2}{2}B(z^2)+\frac{u^3}{3}B(z^3)+\cdots\right) \end{aligned} \]
和
\[ \begin{aligned} &{}A(z,u)=\prod_n\left(1+uz^n\right)^{b_n}\\ \implies &{}A(z)=\lbrack u^k\rbrack \exp\left(\frac{u}{1}B(z)-\frac{u^2}{2}B(z^2)+\frac{u^3}{3}B(z^3)-\cdots\right) \end{aligned} \]
对于 \(\operatorname{CYC}_k(\mathcal{B})\) 同理。
使用上式计算 \(\operatorname{MSET}_3(\mathcal{B})\) 和 \(\operatorname{MSET}_4(\mathcal{B})\) 对应 OGF
尝试计算 \(\mathcal{A}=\operatorname{MSET}_3(\mathcal{B})\) 为
\[ \begin{aligned} \lbrack u^3\rbrack A(z,u)&= \frac{1}{0!}\left(\lbrack u^3\rbrack 1\right)+\frac{1}{1!}\left(\lbrack u^3\rbrack \left(\frac{u}{1}B(z)+\frac{u^2}{2}B(z^2)+\frac{u^3}{3}B(z^3)+\cdots \right)\right)\\ &+\frac{1}{2!}\left(\lbrack u^3\rbrack \left(\frac{u}{1}B(z)+\frac{u^2}{2}B(z^2)+\cdots \right)^2\right)\\ &+\frac{1}{3!}\left(\lbrack u^3\rbrack \left(\frac{u}{1}B(z)+\cdots \right)^3\right)\\ &=\frac{B(z)^3}{6}+\frac{B(z)B(z^2)}{2}+\frac{B(z)^3}{3} \end{aligned} \]
尝试计算 \(\mathcal{A}=\operatorname{MSET}_4(\mathcal{B})\) 为
\[ \begin{aligned} \lbrack u^4\rbrack A(z,u)&= \frac{1}{0!}\left(\lbrack u^4\rbrack 1\right)+\frac{1}{1!}\left(\lbrack u^4\rbrack \left(\frac{u}{1}B(z)+\frac{u^2}{2}B(z^2)+\frac{u^3}{3}B(z^3)+\frac{u^4}{4}B(z^4)+\cdots \right)\right)\\ &+\frac{1}{2!}\left(\lbrack u^4\rbrack \left(\frac{u}{1}B(z)+\frac{u^2}{2}B(z^2)+\frac{u^3}{3}B(z^3)+\cdots \right)^2\right)\\ &+\frac{1}{3!}\left(\lbrack u^4\rbrack \left(\frac{u}{1}B(z)+\frac{u^2}{2}B(z^2)+\cdots \right)^3\right)\\ &+\frac{1}{4!}\left(\lbrack u^4\rbrack \left(\frac{u}{1}B(z)+\cdots \right)^4\right)\\ &=\frac{B(z^4)}{4}+\frac{1}{2!}\left(\frac{B(z^2)^2}{4}+\frac{2B(z)B(z^3)}{3}\right)+\frac{1}{3!}\left(\frac{3B(z)^2B(z^2)}{2}\right)+\frac{B(z)^4}{4!}\\ &=\frac{B(z)^4}{24}+\frac{B(z)^2B(z^2)}{4}+\frac{B(z)B(z^3)}{3}+\frac{B(z^2)^2}{8}+\frac{B(z^4)}{4} \end{aligned} \]
我们发现 \(\mathcal{A}=\mathfrak{K}_k(\mathcal{B})\) 中 \(A(z)\) 是关于 \(B(z),B(z^2),\dots ,B(z^k)\) 的一个表达式。
需要注意的是对于有限制的构造 \(\mathfrak{K}_k(\mathcal{B})\) 并没有要求 \(\mathcal{B}_0=\varnothing\)。
常用有限制的构造
\[ \begin{aligned} \operatorname{PSET} _ {2}(\mathcal{A})&:\quad \frac{A(z)^2}{2}-\frac{A(z^2)}{2}\\ \operatorname{MSET} _ {2}(\mathcal{A})&:\quad \frac{A(z)^2}{2}+\frac{A(z^2)}{2}\\ \operatorname{CYC} _ {2}(\mathcal{A})&:\quad \frac{A(z)^2}{2}+\frac{A(z^2)}{2} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \operatorname{PSET} _ {3}(\mathcal{A})&:\quad \frac{A(z)^3}{6}-\frac{A(z)A(z^2)}{2}+\frac{A(z^3)}{3}\\ \operatorname{MSET} _ {3}(\mathcal{A})&:\quad \frac{A(z)^3}{6}+\frac{A(z)A(z^2)}{2}+\frac{A(z^3)}{3}\\ \operatorname{CYC} _ {3}(\mathcal{A})&:\quad \frac{A(z)^3}{3}+\frac{2A(z^3)}{3}\\ \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \operatorname{PSET} _ {4}(\mathcal{A})&:\quad \frac{A(z)^4}{24}-\frac{A(z)^2A(z^2)}{4}+\frac{A(z)A(z^3)}{3}+\frac{A(z^2)^2}{8}-\frac{A(z^4)}{4}\\ \operatorname{MSET} _ {4}(\mathcal{A})&:\quad \frac{A(z)^4}{24}+\frac{A(z)^2A(z^2)}{4}+\frac{A(z)A(z^3)}{3}+\frac{A(z^2)^2}{8}+\frac{A(z^4)}{4}\\ \operatorname{CYC} _ {4}(\mathcal{A})&:\quad \frac{A(z)^4}{4}+\frac{A(z^2)^2}{4}+\frac{A(z^4)}{2}\\ \end{aligned} \]
上面的计算方法虽然有效但比较麻烦，读者可阅读 WolframMathWorld 网站的 Pólya Enumeration Theorem 和 Cycle Index 等相关资料，后者 Cycle Index 在 OEIS 的生成函数表达式中也经常出现。
例题 LOJ 6538. 烷基计数 加强版 加强版
题意：求出 \(n\) 个节点的有根且根节点度数不超过 \(3\)，其余节点度数不超过 \(4\) 的无序树的个数对 \(998244353\) 取模的值。约定 \(1\leq n\leq 10^5\)。
解：设组合类为 \(\mathcal{T}\) 那么
\[ \mathcal{T}=\lbrace \bullet\rbrace\times\operatorname{MSET}_{0,1,2,3}(\mathcal{T}) \]
或令组合类 \(\hat{\mathcal{T}}=\mathcal{T}+\lbrace \epsilon\rbrace\) 那么
\[ \hat{\mathcal{T}}=\lbrace \epsilon\rbrace +\lbrace \bullet\rbrace\times\operatorname{MSET}_{3}(\hat{\mathcal{T}}) \]
可得到相同的结果。
参考文献