随机变量

相关概念¶

随机变量¶

给定概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\)，定义在样本空间 \(\Omega\) 上的函数 \(X : \Omega \to \mathbb{R}\) 若满足：对任意 \(t \in \mathbb{R}\) 都有

则称 \(X\) 为 随机变量。

示性函数¶

对于样本空间 \(\Omega\) 上的事件 \(A\)，定义随机变量

称 \(I_A\) 是事件 \(A\) 的 示性函数。

分布函数¶

对于随机变量 \(X\)，称函数

为随机变量 \(X\) 的 分布函数。记作 \(X \sim F(x)\)。

分布函数具有以下性质：

• 右连续性：\(F(x) = F(x + 0)\)
• 单调性：在 \(\mathbb{R}\) 上单调递增（非严格）
• \(F(-\infty) = 0\),\(F(+\infty) = 1\)

同时我们可以证明，满足上述要求的函数都是某个随机变量的分布函数。因此，分布函数与随机变量之间一一对应。

随机变量的分类¶

随机变量按其值域（根据定义，随机变量是一个函数）是否可数分为 离散型 和 连续型 两种。

离散型随机变量¶

设 \(X\) 为离散型随机变量，其所有可能的取值为 \(x_1, x_2, \cdots\)，则我们可以用一系列形如 \(P\{ X = x_i \} = p_i\) 的等式来描述 \(X\)。这就是我们在高中课本中学过的 分布列。

连续型随机变量¶

设 \(X\) 为连续型随机变量，考察 \(P\{ X = x \}\) 往往是无意义的（因为这一概率很可能是 \(0\)）。

另一方面，设 \(X \sim F(x)\)，则

一个自然的想法是用极限 \(\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{F(l + \Delta x) - F(l)}{\Delta x}\) 来描述 \(X\) 取值为 \(l\) 的可能性。

这个式子就是我们熟知的导数，于是问题转化为寻找一个非负函数 \(f(x)\) 使得

若这样的 \(f(x)\) 存在，则称之为 \(X\) 的 密度函数。

随机变量的独立性¶

前面讨论了随机事件的独立性。由于随机变量和随机事件紧密联系，我们还可以类似地给出随机变量独立性的定义。

定义¶

若随机变量 \(X, Y\) 满足对任意的 \(x, y \in \mathbb{R}\) 都有

则称随机变量 \(X, Y\) 独立。

性质¶

若随机变量 \(X\),\(Y\) 相互独立，则对于任意函数 \(f, g\)，随机变量 \(f(X)\) 与 \(g(Y)\) 相互独立。