Kahan 求和
引入¶
Kahan 求和 算法，又名补偿求和或进位求和算法，是一个用来 降低有限精度浮点数序列累加值误差 的算法。它主要通过保持一个单独变量用来累积误差（常用变量名为 \(c\)）来完成的。
该算法主要由 William Kahan 于 1960s 发现。因为 Ivo Babuška 也曾独立提出了一个类似的算法，Kahan 求和算法又名为 Kahan–Babuška 求和算法。
舍入误差¶
在计算机程序中，我们需要用有限位数对实数做近似表示，如今的大多数计算机都使用 IEEE-754 规定的浮点数来作为这个近似表示。对于 \(\frac{1}{3}\)，由于我们不能在有限位数内对它进行精准表示，因此在使用 IEEE-754 表示法时，必须四舍五入一部分数值（truncate）。这种 舍入误差（Rounding off error）是浮点计算的一个特征。
在浮点加法计算中，交换律（commutativity）成立，但结合律（associativity）不成立。也就是说，\(a+b = b+a\) 但 \((a+b)+c \neq a+(b+c)\)。因此在浮点序列加法计算中，我们可以从左到右一个个累加，也可以在原有顺序上，将他们两两分成一对。第二种算法会相对较慢并需要更多内存，也常被一些语言的特定求和函数使用，但相对结果更准确。
为了得到更准确的浮点累加结果，我们需要使用 Kahan 求和算法。
在计算 \(S_{new}=S_{old}+a\)（\(a\) 为浮点序列的一个数值）时，定义实际计算加入 \(S\) 的值为 \(a_{eff}=S_{new}-S_{old}\), 如果 \(a_{eff}\) 比 \(a\) 大，则证明有向上舍入误差；如果 \(a_{eff}\) 比 \(a\) 小，则证明有向下舍入误差。则舍入误差定义为 \(E_{roundoff} = a_{eff} - a\)。那么用来纠正这部分舍入误差的值就为 \(a-a_{eff}\), 即 \(E_{roundoff}\) 的负值。定义 \(c\) 是对丢失的低位进行运算补偿的变量，就可以得到 \(c_{new} = c_{old} + (a - a_{eff})\)。
过程¶
Kahan 求和算法主要通过一个单独变量用来累积误差。如下方参考代码所示，\(sum\) 为最终返回的累加结果。\(c\) 是对丢失的低位进行运算补偿的变量（其被舍去的部分），也是 Kahan 求和算法中的必要变量。
因为 \(sum\) 大，\(y\) 小，所以 \(y\) 的低位数丢失。\((t - sum)\) 抵消了 \(y\) 的高阶部分，减去 \(y\) 则会恢复负值（\(y\) 的低价部分）。因此代数值中 \(c\) 始终为零。在下一轮迭代中，丢失的低位部分会被更新添加到 \(y\)。
实现¶
参考代码
float kahanSum(vector<float> nums) {
float sum = 0.0f;
float c = 0.0f;
for (auto num : nums) {
float y = num - c;
float t = sum + y;
c = (t - sum) - y;
sum = t;
}
return sum;
}
习题¶
在 OI 中，Kahan 求和主要作为辅助工具存在，为计算结果提供误差更小的值。
例题 CodeForces Contest 800 Problem A. Voltage Keepsake
有 \(n\) 个同时使用的设备。第 \(i\) 个设备每秒使用 \(a_{i}\) 单位的功率。这种用法是连续的。也就是说，在 \(\lambda\) 秒内，设备将使用 \(\lambda \times a_{i}\) 单位的功率。第 \(i\) 个设备当前存储了 \(b_{i}\) 单位的电力。所有设备都可以存储任意数量的电量。有一个可以插入任何单个设备的充电器。充电器每秒会为设备增加 \(p\) 个单位的电量。这种充电是连续的。也就是说，如果将设备插入 \(\lambda\) 秒，它将获得 \(\lambda \times p\) 单位的功率。我们可以在任意时间单位内（包括实数）切换哪个设备正在充电（切换所需时间忽略不计）。求其中一个设备达到 \(0\) 单位功率前，可以使用这些设备的最长时间。
例题 CodeForces Contest 504 Problem B. Misha and Permutations Summation
定义数字 \(0, 1, \cdots, (n - 1)\) 的两个排列 \(p\) 和 \(q\) 的和为 \(Perm((Ord(p)+Ord(q))\bmod n!)\)，其中 \(Perm(x)\) 是数字 \(0, 1, \cdots, (n-1)\) 的第 \(x\) 个字典排列（从零开始计数），\(Ord(p)\) 是字典序排列 \(p\) 的个数。例如，\(Perm(0) = (0, 1, \cdots , n - 2, n - 1)\)，\(Perm(n! - 1) = (n - 1, n-2,\cdots, 1,0))\)。Misha 有两个排列 \(p\) 和 \(q\)，找到它们的总和。
编程语言的求和¶
Python 的标准库指定了精确舍入求和的 fsum 函数可用于返回可迭代对象中值的准确浮点总和，它通过使用 Shewchuk 算法跟踪多个中间部分和来避免精度损失。
Julia 语言中，sum 函数的默认实现是成对求和，以获得高精度和良好的性能。同时外部库函数 sum_kbn 为需要更高精度的情况提供了 Neumaier 变体的实现，具体可见 KahanSummation.jl。