主元素问题
概述¶
给一个有 \(n\) 个元素的数列,保证有一个数 \(a\) 出现的次数 超过 \(\dfrac n 2\),求这个数。
做法¶
桶计数做法¶
桶计数做法是出现一个数,就把这个数出现次数 \(+1\),很好懂:
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> t;
ans[t]++;
}
for (int i = 0; i < m; i++) { // m 为桶的大小
if (ans[i] > n / 2) {
cout << i;
break;
}
}
时间复杂度 \(O(n+m)\)。
但是这个做法很浪费空间,我们不推荐使用。
排序做法¶
显然,若一个数列存在主元素,那么这个主元素在排序后一定位于 \(\dfrac{n}{2}\) 的位置。
那么我们又有想法了:
sort(a, a + n);
cout << a[n / 2 - 1]; // 因为这里数组从 0 开始使用,所以需要 -1
看起来不错!\(O(n\log n)\) 的复杂度可还行?
下面介绍本问题的 \(O(n)\) 解法。
主元素数列的特性¶
由于主元素的出现的次数超过 \(\dfrac n 2\),那么在不断的消掉两个不同的元素之后,最后一定剩下主元素。
输入时判断与上一次保存的输入是否相同,如不同则删除两数,这里用栈来实现。
while (n--) {
scanf("%d", &a);
q[top++] = a;
top = (top > 1 && (q[top - 1] != q[top - 2])) ? (top - 2) : top;
}
printf("%d", q[top - 1]);
再进行优化后,空间复杂度也可以降至 \(O(1)\)。
int val = -1, cnt = 0;
while (n--) {
scanf("%d", &a);
if (a != val) {
if (--cnt <= 0) {
val = a, cnt = 1;
}
} else {
++cnt;
}
}